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幾何学の証明
numa00の回答
図を書いて一度考えてみましたか? Aから出た光が、頂点Oに向かっていく方向に出た時は、こんな感じです。 (1)XOYのなす角をα°とします。 (2)定点Aから、OXに対してβ°の角度で光を発したとします。つまり、 この光がOXに当たる点をBとすると、角ABXがβ°になるということです。 (3)さて、Aから出た光ABが半直線OXで反射するとして、その反射光がOYと 交わる点をCとします。すると、角CBO=角ABX=β°です。 (4)三角形OBCに着目します。三角形の内角の和は180°ですから、角OCB= (180-α-β)°になります。 (5)反射光BCがOYで再度反射します。点Cで反射して、線分ABと交わる点を Dとします。さっきの(3)と同様に、角DCY=角BCOですから、(180-α-β)° です。 (6)ここで、三角形BCDに着目します。角DBC=(180-2β)°です。また、 角BCD={180-2x(180-α-β)}°=(2α+2β-180)°です。 (7)2度目の反射光線CDと最初Aから出た光線ABのなす角度は、角CDBなので、 三角形の内角の和-角DBC-角DCB=180-(180-2β)-(2α+2β-180)= (180-2α)°になります。 (8)つまり、点Aからどんな角(β)で光が出ようとも、問題の角はβとは 無関係に(180-2α)°になります。 図を書きながらだと分かると思うのですが。 もし不安なら、点Aから出る光がOから遠ざかる方向のときも同じように考えて みてはいかがでしょうか。
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