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行列
Aを2行2列の行列とする。ある正の整数n≧2についてA^n-1 ≠0、A^n=0 (0は0行列)ならば常にA^2=0が成り立つと示せ。 という問題ですが、A^2=0ならA^n-1も0になるような気がするんですが たとえばn=15ならA^14=A^12*A^2=0 のような・・
- bamobamo12
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- tmppassenger
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質問者さんの疑問は、 仮に 『n≧ 3』 なるある正整数 n が存在して A^{n-1} ≠ O、 A^n = O となるとする。この時 A^2 = O となることが証明出来るのなら、 A^{n-1} = (A^2) (A^{n-3}) = O となってしまうから(今n≧3を仮定しているので、この変形はok)、そもそも「A^{n-1} ≠ O」という事と矛盾してしまう。 なので、ある正整数 n が存在して A^{n-1} ≠ O、 A^n = O となるなら A^2=Oが成り立つ、というのであれば、この場合のnはそもそも n≦2でないと(つまりn=2でないと)おかしくて、ってわけで問題と何か変ではないか?という疑問をもっているという事です。 で、実際には、つまり『n≧ 3』 なるある正整数 n が存在して A^{n-1} ≠ O、 A^n = O となるとすると要は「矛盾する」(ことが証明できる)。で、矛盾からは如何なる結論も導出出来るので、A^2 = Oと結論しても問題ない。(つまり、例えばA^14 ≠ O、A^15 = Oとなるなら、「矛盾」なので、A^2 = Oとなる、と結論しても問題ない)。ただし、この場合「矛盾する」こと自体はきちんと証明する必要がある。 で、n=2の場合はもちろん問題ないので、結局この設題に不備はないのですが、分りにくい。結局設問の中にある「 A^{n-1} ≠ O」の部分は余計なので、はずして考えてみましょう、という訳です。
- f272
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A^2=0であれば A^5=A^3*A^2=0 A^4=A^2*A^2=0 A^3=A*A^2=0 A^2=E*A^2=0 ですが, A=A^(-1)*A^2=0 であるとは言えません。A^(-1)が存在するかどうかわからないのですから。 そして2以上の整数nについてA^n=0であればA^(-1)は存在しません。
- tmppassenger
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確かに A^{n-1} ≠0 という部分は混乱しますね。この部分は余計でいらないので、その条件でもういちど考えてみてください。
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