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環の中の演算
整数では足し算と掛算があります。 環にも和と積がありますが、積を和よりも先にする、というのは、分配法則で言えているのでしょうか?
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足し算を1から順に足していきます。 掛け算を1から順に掛けていきます。 和と積が一致するのは、下の例以外に存在するでしょうか? 例 1 = 1 1+2+3 = 1×2×3 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15 = 1×2×3×4×5 掛け算は2の倍数と5の倍数によって、下位の桁に0が続くことになることはわかります。
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以下において、数はすべて整数とします。 整数環の規則に従って計算する時、 問題1:この式は正しいですか? 1 + Σ[k=1,∞]1 = ∞ Σ[k=1,∞]1 + 1 = ∞ □私の考え Σ[k=1,∞]1 = 1 + 1 + 1 + ... であり、εδを使って表すなら ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x (x>δ ⇒ Σ[k=1,x]1>ε) により、「任意の整数より大きな値となる」ことが示されます。 このことを Σ[k=1,∞]1 = ∞ などと表します。(通常の等式でないことに注意) 問題1の式は、いずれもこれに 1 を加えたものなので、これより小さくはありません。 よって、「任意の整数より大きな値となる」ことが示されます。 問題2:この式は正しいですか? 0 × Σ[k=1,∞]1 = 0 □私の考え 乗法は a × b = Σ[k=1,b]a で定義されています。ただし、b = 0 ならば a × 0 = 0 です。(aとbを逆にする考え方もある) たとえば 2 × 3 = Σ[k=1,3]2 = 2 + 2 + 2 = 6 になります。 任意の正数xにおいて Σ[k=1,x]1 = x であるから、問題2の式は 0 × Σ[k=1,∞]1 = Σ[l=1,Σ[k=1,∞]1]0 = Σ[l=1,∞]0 = 0 + 0 + 0 + ... = 0 となります。εδを使って表すなら ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x (x>δ ⇒ |Σ[l=1,Σ[k=1,x]1]0|<ε) により、0 であることが示されます。 あるいは、分配法則を使うことで、直接 0 × (1 + 1 + 1 + ...) = 0 + 0 + 0 + ... = 0 を示すことができます。 なお、∞を新たな元と考えた場合については、「自然数 0×∞ 集合を使って」 http://okwave.jp/qa/q8531927.html で示した通りです。ここでは、その考えは取りません。
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お礼
詳しい回答有難うございます。 やはり、掛算を足し算より先にするのは暗黙の了解、ということですね。 全ての数学の理論、解析でも代数でも、暗黙の了解事項の上に載っている、と思うとなんあ怖いですね。