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環の中の演算
tmpnameの回答
「記法」の問題と、環の演算の定義の問題をごっちゃにしている。 環Z上の加法f, 乗法 gも、あくまで 両方共何らかの Z×ZからZの写像です。まずこの事を理解しないといけない。 f も gもあくまで写像であるから、一般的な写像の合成の規則に従う。それだけのことです。 + とか * とか書いているのが混乱の元なら、一度加法をf, 乗法をgとおいて、環の公理をすべて明示的に書き直してみるとよいです。 5×3-2 を (5 * 3 ) + (-2) と「解釈」、つまり f(g(5,3), -2)のことと解釈するのは、あくまで「記法上の約束事」です。環の演算の定義とは本質的に関係ありません。例えばポーランド記法を使えば f(g(5,3), -2)は + * 5 3 (-2) みたいな感じになります。 べつに、記法上 5×3-2は 5× (3-2)の事、つまり「『記法上』加法は乗法に優先する」、としても問題ありません。あるいは電卓みたいに「『記法上』は左から必ず計算する」とかしても問題ない。なぜなら括弧があればいくらでも演算順序を変更出来るからです。その場合、結合則は括弧をつかって、明示的に a*(b+c) = (a*b) + (a*c) と書けば何の問題もありません。 ただ、「『記法上』加法は乗法に優先する」とすると、記法上括弧を書く回数が増えてしまうので、括弧を減らすためにそうしてないだけです。
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