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足し算と掛け算の一致
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>Brown Numbers の線を実験(by the poorest spreadsheet !) >k*n! + 1 = m^2 k = 1,2,3,4 の (n,m) 前回のバカでかい数値は、スプレッドシートの桁落ちによる解モドキ。 k*n! = q*(q+2) の k : (n,q) に再トライ (n≦7)。 k=1 : (4,4), (5,10), (7,70) k=2 : (4,6) k=3 : (5,18) k=4 : (3,4) k=5 : (4, 10) k=6 : ナシ k=7 : (4, 12), (5, 28), (6, 70) k=8 : (1, 2), (3, 6), (5, 30) k=9 : ナシ k=10 : ナシ これでは、P(x) = n! には n > 7 の解は無さそう、という「予想」です。P(x) は 2次以上の整係数多項式。 ↓ http://www.math.uiuc.edu/~berndt/articles/galway.pdf >THE DIOPHANTINE EQUATION P(x) = n! ......
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前へもどってみましょうかね。 ↓ >m までの和と、n までの階乗が等しければ、 > m = {SQRT(8*n! + 1)-1}/2 SQRT( ) の中身が平方数とする。 8*n! + 1 = p^2 8*n! = p^2 - 1 = (p+1)*(p-1) これが成立するのは、(p+1), (p-1) ともに偶数の場合。 ・n=1 : 8 = p^2 -1, つまり 9 = p^2, p=3 。 ・n=2 : 16 = p^2 -1, つまり 17 = p^2, NG 。 ・n=3 : 48 = p^2 -1, つまり 49 = p^2, p=7 。 ・n=4 : 192 = p^2 -1, つまり 193 = p^2, NG 。 ・n=5 : 960 = p^2 -1, つまり 961 = p^2, p=31 。 ・n=6 : 5670 = p^2 -1, つまり 5671 = p^2, NG 。 この先は、いちいち勘定するに耐えません。一網打尽にできないものでしょうか。
補足
>これが成立するのは、(p+1), (p-1) ともに偶数の場合。 これって、要するに、pが奇数であるということですよね。
閑話で失礼。 Brown Numbers の線を実験(by the poorest spreadsheet !) k*n! + 1 = m^2 k = 1,2,3,4 の (n,m) k=1 : (4,5), (5,11), (7,71) k=2 : (4,7), (28,780881994429009), .... ? k=3 : (1,2), (5,19), (28,956381217838965) k=4 : (2,3), (3,5), (27,208699491618148) そもそも、勘定合ってますかね。
お礼
小さい桁は電卓で計算したら、合っていましたけど、大きい桁はわかりません。私の間違いでなければ、k=6のときは、小さい桁のペアは見つからないと思います。 疑問ですけど、どんなkであっても、ペアは存在するのでしょうかね。
- Mr_Holland
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#3/#6/#7です。 arrysthmiaさん、「ケース3」を追加してくれて、ありがとうございます。 ひょっとしたら、#3/#6の考え方はまだ望みがあるのかもと感じさせてくれます。 しかし、素数冪の問題は難問です。 (素数の問題には詳しくない私には特に・・・) ちなみに、空いた時間でPCに 178tallさんのアルゴリズムで計算させています。 今のところ、 < n≦1800 では n=1,3,5以外の解はない > ようです。
お礼
間違えました。 nが偶数でもケース3のときは、まだわかりませんね。
補足
nが偶数のときは、解がない。 nが奇数でケース1のときは、1,3,5以外に解がない。 ここまでは、正しそうですね。 だから、nが奇数のときのケース2とケース3を調べればよさそうですね。
- settheory
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#10です。 m=7 のは間違いです!初歩的な間違いをしてしまいました・・・申し訳ないです。 8m!+1に代入したときに、どういう奇数の二乗になっているかを書いただけです。
- settheory
- ベストアンサー率48% (13/27)
皆さんの回答と少し重複してしまうかもしれませんが。 1/2*n(n+1)=m! これをnの二次方程式と見て、解の公式をあてはめると、 「8m!+1が奇数の二乗」になることが、自然数の解が存在することと同値です。(8m!+1が奇数なので、平方数になればそうはなりますが。) m=1 のとき (2*1+1)^2 =3^2 m=3 のとき (2*3+1)^2 =7^2 m=5 のとき (2*15+1)^2 =31^2 m=7 のとき (2*35+1)^2 =71^2 となりました。(*の後ろの数字が解になります)m=9,11を電卓で平方根をとったら整数にはなりませんでした。奇数で成り立つのはこれしかないかもしれません。 mが偶数の時もどうなるかわかりません。最初の二つは素数になったのですが、その後もそうなるかは不明です・・
補足
m=7のときは、成り立たないと思うのですけど、私の勘違いでしょうか。もし、成り立つならば、大発見だと思います。 それから、示されている式は恒等式なのですが、どのように導出されたのか、わかりません。
- arrysthmia
- ベストアンサー率38% (442/1154)
一番厄介なのは、ケース 3) 右辺の 1 ~ n の中の偶数にも、 素因数分解すれば奇数因子がある。 それを、左辺の奇数因子側に含めてもよい。 …という場合なんだけど。 これに注意して弱めた条件なら、 偶数だけでなく、一般の倍数にも適用できる。 2 (n !) の素因数分解に現れる各 素数巾は、左辺の形に分解する際、 m か m+1 の一方にまとめて含めねばならない。 m と m+1 は、互いに素だから。 さて、これが、どう使えるか…
似て非なる問題ですけど、Brown Numbers というのがあるそうで…。 n! + 1 = m^2 (厳密には解けてないらしい) (n, m) は、 (4,5), (5,11), and (7,71) の 3 ペアしかないだろう。 という予測(conjecture)があるんだそうです。 丸投げです。 反問はお控えください。 --------------------------------------------------- http://en.wikipedia.org/wiki/Brocard%27s_problem >Brocard's problem / Brown Numbers Brocard's problem asks to find integer values of n for which n! + 1 = m^2 where n! is the factorial. Pairs of the numbers (n, m) that solve Brocard's problem are called Brown numbers. There are only three known pairs of Brown numbers: (4,5), (5,11), and (7,71). Paul Erdos conjectured that no other solutions exist.
お礼
アドバイスありがとうございます。 (7,11)のペアには気づきませんでした。
補足
間違えました。 (7,71)のペアには気づきませんでした。
- Mr_Holland
- ベストアンサー率56% (890/1576)
#3です。 #4/#5を拝見しました。 確かに、偶数が 偶数×奇数 に分解できることを忘れていました。 #3/#6の回答は忘れてください。 ご指摘ありがとうございます。
- Mr_Holland
- ベストアンサー率56% (890/1576)
#3です。 #3に追記です。 nが奇数(=2k+1)の時ですが、「ケース1」については k=0,1,2 (n=1,3,5) 以外に存在しないことが示されます。 g(k)=(左辺の奇数)-(左辺の偶数) とおきますと、 g(k)=(2k+1)!!-2(2k)!! ≧-1 (等号成立は k=0,1,2のとき) となり、g(k)が単調増加であることを考えると、|g(k)|=1 となるのは、 k=0,1,2(つまり、n=1,3,5)の時しかないことが分かるからです。 なお、nが奇数の時の「ケース2」については難問です・・・ ちなみに、「8×n!+1が平方数になる」という問題は、結局元に戻って、#3の式☆に行き着きますよ。 8×n!+1は奇数ですので、(2a+1)^2 と置きます。 8n!=2a(2a+2) ∴2n!=a(a+1) となり、a=m で式☆に帰着します。
- arrysthmia
- ベストアンサー率38% (442/1154)
難しいね。 とりあえず、見当がつかない。 No.3 は、残念。 1 ~ n の中の偶数で、例えば 6 について、 2 を左辺の偶数に、3 を左辺の奇数に 掛けておくことができる。
お礼
なるほど。偶数も分解すれば、奇数成分と偶数成分になる、ということですね。
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