二項定理の応用

質問

二項定理を使う問題がわからないので質問します。
問題は、
(1)11^100-1は末尾に連続していくつの0を持つか。
です。
解答では、
(1)11^100-1=(10+1)^100-1
=10^100+100C1*10^99+100C2*10^98・・・+100C97*10^3+100C98*10^2+100C99*10+1-1
の最後の展開式は、最後の3項を除くと、すべて10^4の倍数であるから、
下4桁はすべて0000であり、他方最後の3項は、それぞれ、
100C97*10^3＝161700000、
100C98*10^2=495000、
100C99*10=1000
となるので結局全体として、
11^100-1=10^4(10^96+100C1*10^95+100C2*10^94・・・+100C96)+162196000
=10^4*(正整数)+162196000
よって11^100-1は末尾に0が連続して3個つく数である。
分からない点は、なぜ10^4でくくるのかということです。10＾3や10＾2でもくくれるのに10^4でくくるようにしたのかがわかりません。
どなたか10^4でくくる理由を教えてください。おねがいします。

回答No.5

staratras · ベストアンサー

問題を解く流れに沿って考えてみます。

11^100-1=(10+1)^100-1
=10^100+100C1*10^99+100C2*10^98・・・+100C97*10^3+100C98*10^2+100C99*10+1-1
=10^100+100C1*10^99+100C2*10^98・・・+100C97*10^3+100C98*10^2+100C99*10

ここまではいいですね。11（に限らず1の位が1のすべての整数）は何乗しても1の位は1だから1を引くと消えます。ここで残ったすべての項には、それぞれ10の何乗かをかけているので、上式は少なくとも10の倍数であることは明らかですがそれ以上はわかりません。そこで、各項をおしまいの方から実際に計算してみます。

100C99=100C1=100 →10倍して1000
100C98=100C2=100・99/2・1=4950　→10^2倍して495000
100C97=100C3=100・99・98/3・2・1=161700　→10^3倍して161700000

100C99+100C98+100C97=162196000　　ここまでで十分であることがわかります。

なぜならば次の項100C96*10^4=100C4*10^4は、100C96が10の倍数でなくても（実際10の倍数ではありません）10^4倍するので末尾に0が少なくとも4つあることが明らかです。したがって4項目以降を加えることによって繰り上がって末尾の0の数が増える可能性はないからです。

最後の3項の和を計算してみたら末尾に0が3つある数となり、4項目以降は少なくとも10^4（10000）の倍数となるので末尾に0が4つ以上あり、全体の和の末尾の0の数には直接関係しないことがわかったということになります。これが10^4でくくることが適切な理由です。

初めから10^4と分っているのではなく、具体的に計算してはじめて10^4でくくりだすことが適当だと分ったのです。

お礼

各項をおしまいのほうから計算するのが先なんですね。さらに繰り上がりがないこともわかりました。解説ありがとうございます。

回答No.4

tmppassenger

別の言い方をすれば、

『となるので結局全体として、11^100-1= ..... = 10^4*(正整数)+162196000』
という行と
『よって11^100-1は末尾に0が連続して3個つく数である。』
という『行の間の論理』をきちんと理解していますか？（あるいは自分で解答を作ってみた時に、この辺の論理の構成を自分自身で考えていますか？）

お礼

やりなおす時は、自分の手で解答を書いてみます。自分の考えの間違いを発見
したいです。

回答No.3

tmppassenger

というわけで、例えば10^2でくくってもきちんと解答が出来るのでは、と思うのであれば、その解答を書いてもらえませんか？多分その解答を見て検討した方が、疑問点がはっきりと解消されるはず。

回答No.2

tmppassenger

> 10＾3や10＾2でもくくれるのに10^4でくくるようにしたのか

この問題、『ご自身で』一度『実際に』解答を作ってみましたか？（単に解説を読んで、「まあ確かにこうすると解けるな」と思うだけでなく）

ご自身で解答を作った時、「10＾3や10＾2で」くくった時どうなるか、つまり「10＾3や10＾2で」くくった時に、本当に「末尾に連続していくつの0を持つか」という事に対してきちんと解答を作れるかを一度考えてみてください。そうして自分で手を動かすと、初めて「10^4でくくる」というのが何に効いているのかがわかると思います。

回答No.1

hikkyhokky

おっしゃるとおり10^4でくくる必然性はありません。できるだけ多くの0が並ぶ可能性を見積もっているので、仮に10^2でくくってみると0が2つ並んでいることしか言えないので、見落としが出ますよね。と言って、10^10でくくると、残ってくる項でいちいち検討しなくてはいけない項が9個になって面倒です。検討が必要な項をできるだけ減らしながら、できるだけ多くの０が並ぶ可能性を見落とさないために、今の場合は10^4が適当だったと言う事です。10^5でも、余り変わらないと思います。

お礼

手探りでくくる10の累乗をさがすしかないようですね。
お返事ありがとうございます。