nCm が偶数

質問

n=2^k(k≧1)とすると、　nCm (1≦m≦n-1)は偶数であることをしるせ。
証明では
(A+B+C+・・・・Y+Z)^2
=A^2+B^2+C^2+・・・Y^2+Z^2+2(AB+AC・・・+AY+AZ・・・+YZ)・・・(1)
を使って
例えばn=4のとき、(a+b)^4=a^4+(係数が偶数の項)+b^4がわかれば、n=8のとき、
(a+b)^8={(a+b)^4}^2={a^4+(偶数係数項の和)+b^4}^2=a^8+(偶数係数項の平方和)+b^8
+2(異なる２項の積全体の和)
=a^8+(係数が偶数の項)+b^8　となるので、n=8でも成り立つことがわかる。
と書いてあります。

(1)を使って具体的に計算したら、
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2を2乗して(a+b)^4を表すと、
a^4+4a^2b^2+b^4+2(2a^3b+a^2b^2+2ab^3)
また上記の結果を２乗して(a+b)^8を表すと、
a^8+16a^4b^4+b^8+4(2a^3b+2ab^3+a^2b^2)^2+2{4a^6b^2+a^4b^4
+a^4*2(2a^3b+2ab^3+a^2b^2)
+4a^2b^6+4a^2b^2*2(2a^3b+2ab^3+a^2b^2)
+b^4*2(2a^3b+2ab^3+a^2b^2)}
どこが、係数が偶数の項、偶数係数項の和、偶数係数項の平方和であるかがわかりません。
次に、a^4・・・を２乗するときに(係数が偶数の項)は(偶数係数項の和)に書かれていて、
どっちが正しいかわかりません。
どなたか２つの質問に説明をください。お願いします。

本では、このあと数学的帰納法を使って、条件が成り立つとき、nCmが偶数であることをしるしています。

回答No.4

f272 · ベストアンサー

どこが、係数が偶数の項、偶数係数項の和、偶数係数項の平方和であるかがわかりません。
式がごちゃごちゃするのでわかりにくくなるが，文字を置き換えればすっきりします。そのうえで見比べればわかるだろう。
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a+b)^2=a^2+2A+b^2
ただしA=ab

(a+b)^4=(a^2+2A+b^2)^2
(a+b)^4=a^4+(2A)^2+b^4+2(a^2*2A+2A*b^2+a^2*b^2)
(a+b)^4=a^4+2B+b^4
ただしB=2A^2+a^2*2A+2A*b^2+a^2*b^2

(a+b)^8=(a^4+2B+b^4)^2
(a+b)^8=a^8+(2B)^2+b^8+2(a^4*2B+2B*b^4+a^4*b^4)
(a+b)^8=a^8+2C+b^8
ただしC=2B^2+a^4*2B+2B*b^4+a^4*b^4

> 次に、a^4・・・を２乗するときに(係数が偶数の項)は(偶数係数項の和)に書かれていて、どっちが正しいかわかりません。

同じものです。同じものを別の言い方をするのは，何か理由がない限りはよいことではありません。(偶数係数項の和)と(偶数係数項の平方和)のように似たような言葉を使いたかったのかもしれませんが，この言葉自体があまりよい用語とは思えません。平方和は何かを2乗して和をとったものですが，計算を追っていくとここでは和をとったものを2乗したはずです。まあ，2乗の和にもなっているので間違いではないですが...
深く考えないほうが良いですね。

お礼

平方和を、異なる２項の積全体の和に入れて、(2をくくりだす。)
偶数係数の項にするが、文字を置き換えることによって、分かりやすかったです。

回答No.3

178-tall

参照 URL
　　↓ パスカルの三角形
など、ご覧あれ。

参考URL：

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/pascal/pascal.htm

お礼

パスカルの三角形を利用して、解ける問題はたくさんあるのですね。
今度じっくり読んでみようと思います。

回答No.2

178-tall

>どこが、係数が偶数の項、偶数係数項の和、偶数係数項の平方和であるかがわかりません。

(a+b)^n {n = 2, 4, 8 } の「2 項展開」結果のうち、両端 (a^n = a^0 = 1) を除いた係数が「偶数」… なのです。

お礼

証明することがはっきりしました。ありがとうございます。

回答No.1

jcpmutura

(a+b)^4
=a^4+4a^2b^2+b^4+2(2a^3b+a^2b^2+2ab^3)
=a^4+4a^2b^2+2(2a^3b+a^2b^2+2ab^3)+b^4
=a^4+2ab(2a^2+3ab+2b^2)+b^4
↓だから
↓(係数が偶数の項)=2ab(2a^2+3ab+2b^2)
↓さらに展開すると
(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4
だから
4a^3b,6a^2b^2,4ab^3
はいずれも係数が偶数だから
(偶数係数項の和)=4a^3b+6a^2b^2+4ab^3
(偶数係数項の平方和)
=(4a^3b)^2+(6a^2b^2)^2+(4ab^3)^2
=16a^6b^2+36a^4b^4+16a^2b^6
だから

(a+b)^8
={(a+b)^4}^2
={a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4}^2
=a^8+16a^6b^2+36a^4b^4+16a^2b^6+b^8
+2(4a^7b+6a^6b^2+28a^5b^3+17a^4b^4+28a^3b^5+6a^2b^6+4ab^7)
=a^8+8a^7b+28a^6b^2+56a^5b^3+70a^4b^4+56a^3b^5+28a^2b^6+8ab^7+b^8

(係数が偶数の項)
と
(偶数係数項の和)
は
本来同じですが

(係数が偶数の項)は
4a^2b^2+2(2a^3b+a^2b^2+2ab^3)
のように展開整理されていなくてもよいですが,

(偶数係数項の和)が
4a^3b+6a^2b^2+4ab^3
のように展開整理されていなければ
(偶数係数項の平方和)も
16a^6b^2+36a^4b^4+16a^2b^6
のように展開整理されません

お礼

係数が偶数の項ができる過程がわかりました。展開整理の話ありがとうございます。