何通り？

質問

どこかの大学の入試問題だったらしいんですが…
「区別のつかないｎ個のボールを、区別のつかない３つの箱に入れるとき、その入れ方は何通り？」
ボールも箱も区別アリ、ボールのみ区別アリ、箱のみ区別アリ、の三問は解けたんですが、最後のこの問題が解けません。誰か教えて下さい。

回答No.5

finetoothcomb

間違っていたらごめんなさい。考えてみたことを投稿します。私にとって簡単と感じられた（思いっきり勘違いでなければ!）順番に、４問について書きます。

【A】ボールも箱も区別アリ
3^n　(通り)

【C】箱のみ区別アリ
Σ{k=0 to n} 1* Σ{i=0 to (n-k)} 1}
= Σ{k=0 to n} 1* (n-k+1)
= Σ{k=0 to n} (n+1-k)
= (n+1)Σ{k=0 to n}1 - Σ{k=0 to n} k
= (n+1)(n+1) - n(n+1)/2
= (n+1){(n+1) - n/2}
= (n+1)(n/2 +1)
= (n+1)(n+2)/2 (通り)　

【D】ボールも箱も区別ない
Yk="k個の非個性なボールの並びに対して、左側のボールの数が右側のボールの数よりも小さくならないように仕切りを１つ入れる入れ方、の場合の数"　とする。
[ ]はガウス記号とする（[x]="xを越えない最大の整数")。
Yk=[k/2]+1
An=Σ{i=0,[n/2]}(Yi) (通り)
Anを展開したものが答えになると思うのですが（検証まだ）これは展開すれば、簡単にできますもんね。

【B】ボールのみ区別アリ
"有個性なk個のボールの並びに対して、左側のボールの数が右側のボールの数よりも小さくならないように仕分けする場合の数"×"残ったボールの並びにも同様の操作をする場合の数"　を Bnとする。
[] はガウス記号とする。（[x]="xを越えない最大の整数")。
Bn=Σ{a=[n/2]+1, n}((n)C(a)) * Σ{b=[(n-k)/2]+1, n-k}((n-k)C(b)) (通り)
Bnを展開したものが答えになると思うのですが（検証まだ）もっとエレガントな方法あるのでしょうねー。

取り急ぎ投稿してみました。