確率の問題

質問

－2、－1、1、2、3の数が書かれたボールが1個ずつ入っている箱がある。この箱からAさんがボールを取り出し、取り出したボールに書かれている数をｍとする。そして取り出したボールを箱に戻す。次にBさんがこの箱からボールを1個取り出し、取り出されたボールに書かれている数をｎとする。
このとき、ｍ＋ｎ≦0になる確率を求めなさい。ただし、箱に入っているどのボールの取り出し方も同様に確からしいものとする。

こういう問題があるんですが、この場合、ｍが１、ｎが－１のときと、ｍが－１、ｎが１のときなどの、同じ数のときは区別するんでしょうか？

区別するときとしないときの定義がわからないので、教えてくださるとうれしいです。

説明下手ですみません。
よろしくお願いします。

回答No.6

stomachman

「A, Bが順番に取り出したんだから…」だとか、「ボールを取り出す場合は…」、いやさ「大抵この手の問題は…」のような、「問題の類似性に着目して、そのパターンに応じた『解き方』を憶える」というアプローチは、ちょっとひねった状況になると簡単に騙されるうえに、いっぱい勉強した割にちっともオリコウになりませんから、楽しくない。

　もっと単純な場合について考えてみれば、迷わなくて済むでしょう。たとえば、
「-1, 1の数が書かれたボールが1個ずつ入っている箱がある。この箱からAさんが無作為にボールを取り出し、取り出したボールに書かれている数をｍとする。そして取り出したボールを箱に戻す。次にBさんがこの箱から無作為にボールを1個取り出し、取り出されたボールに書かれている数をｎとする。」
という設定で考えてみればいかがでしょう？あるいは
「偏りのないコインをトスする。裏が出たら1円もらえて、表が出たら1円払う。この勝負を2回行う」
というのでも同じ事です。
　すると、(m+n)は{-2, 0, 2}の3通りだけである。だけど、この3通りがどれも同じ確率で生じるわけじゃないのはお分かりになるでしょう。0になる確率が1/2で、-2や2になる確率はそれぞれ1/4ですね。
　てことはすなわち、「ｍが１、ｎが－１のときと、ｍが－１、ｎが１のとき」を区別して数え上げりゃいいんだな、というコトです。

　この例をもうちょっとだけ深く考察しますと、
(1) ボールを取り出す操作の1回目と2回目（あるいはコイントスの1回目と2回目）は、一方の結果と他方の結果とが無関係です。（Bさんがどっちのボールを選ぶかは、Aさんが1のボールを選んだかどうかに影響されない。）だから(2通り)×(2通り)=4通りの場合が生じる。
(2) 2回の操作のどちらについても、2つのボールの選ばれやすさ(コインの裏／表の出やすさ）に偏りがないのだから、どの場合も同じ確からしさで生じる。
(3) 4通りのそれぞれについて得点（-2, 0, 2のどれか）を割当ててある。-2はある１通り(1,1)が生じた場合の得点、2は別の１通り(m,n)=(-1,-1)が生じた場合の得点、0はそれら以外の2通り(1,-1), (-1,1)のどちらかが生じた場合の得点である。
　と、こう考えれば、(1)と(2)と(3)はそれぞれ無関係の別の話です。なぜなら、出題者は、(2)(3)はそのままに、(1)の代わりに「Aさんがボールを選び、そのボールを箱に戻さない。次にBさんがボールを選ぶ」という問題を作ることもできる。(1)(3)はそのままに、(2)の代わりに「1と書いてあるボールの方が-1と書いてあるボールより10倍選ばれやすい」という問題を作ってもいい。また、(1)(2)はそのままに、(3)の代わりに、各場合に割り当てる得点を(m+n)の代わりに(3m-n)とする問題も作れる。このように設問を勝手気ままに変更できるということは、(1)～(3)が互いに無関係ってことです。

　つまり、これら3つの別の話が組み合わせられて問題になっているわけで、ですから、(1)の部分と、(2)の部分と、(3)の部分とを分けて、段階的に考えれば良いのです。

お礼

ありがとうございました！

回答No.5

naniwacchi

#3です。

母集団と書いてしいまいましたが、「全事象」が正しいですね。
失礼しました。

お礼

ありがとうございます＾＾

回答No.4

yyssaa

確率＝(対象となる事象の数)÷(起こり得る全ての事象の数)です。
(対象となる事象の数)を操作する(例えば明らかに違うm1,n-1と
いう事象とm-1,n1という事象とを区別しないとする）と、分母に
なる(起こり得る全ての事象の数)についても操作が必要になります。
　区別するかしないかは、起こり得る全ての事象をどう考えるか
で決めるしかないと思います。
　この問題では、全ての事象の数を５×５＝２５通りと計算するのが
普通でしょう。そしてその中にはｍが１、ｎが－１と、ｍが－１、ｎが１
とは別の事象としてカウントされています。従って確率計算する際は、
分子も区別しなければなりません。

お礼

ありがとうございました！

回答No.3

naniwacchi

こんばんわ。

mと nの「組合せ」について区別するのかしないのかということですね。
こういうときは、一度「母集団」をどう数えているかを考えてみると、
すんなりわかるときがあります。
母集団といっているのは、確率の計算で「分母」として計算している部分のことです。

いまの問題であれば、分母の計算は
5x 5＝ 25とおりと計算しますね。

この 5x 5というのは、
(m, n)＝ (-1, 1)と (m, n)＝ (1, -1)は別の組合せとして考えているはずです。

分子としてカウントするのは、母集団の中から当てはまる事象を選んでくるわけですから、
母集団としてどういう数え方をしているのかを考えてみるということです。

お礼

ありがとうございました！

回答No.2

ferien

こういう問題があるんですが、この場合、ｍが１、ｎが－１のときと、ｍが－１、ｎが１のときなどの
＞同じ数のときは区別するんでしょうか？
Ａの取り出したボールをｍ，Ｂの取り出したボールをｎとしているので区別します。

取り出し方は全部で、５×５＝２５通り
ｍ＋ｎ≦0になるのは、
ｍ＝－２のとき、ｎ＝－２，－１，１，２の４通り
ｍ＝－１のとき、ｎ＝－２，－１，１の３通り
ｍ＝１のとき、　ｎ＝－２，－１の２通り
ｍ＝２のとき、　ｎ＝－２の１通り
計１０通り
確率は１０／２５＝２／５

お礼

ありがとうございました！

回答No.1

yukaru

＞この場合、ｍが１、ｎが－１のときと、ｍが－１、ｎが１のときなどの、同じ数のときは
-1と１は別の数ですから区別します

今回のような場合には同じ数のボールがもしあったら区別します

確率ではわりと区別します、区別しなくていいのはその前に計算に入れているときとかかと

お礼

ありがとうございました！