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対数関数の積分
∫(log x)^n dx の不定積分を次のように求めましたが、正しいか確認していただければ幸いです。 ------------------------- ∫(log x) ^n dx =∫(x)' (log x)^n dx =x (log x)^n - ∫ x {(log x)^n}' dx =x (log x)^n - ∫ x {(log x)^n} / x dx =x (log x)^n - ∫ (log x)^n dx ∴ 2 ∫ (log x)^n = x (log x)^n ∫ (log x)^n = 1/2・x (log x)^n + C
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「部分積分」で求めます。 I[n]=∫{ln(x)}^ndx, (n:自然数) とします。 u={ln(x)}^n, v'=1 として計算することにより、 I[n]=x*{ln(x)}^n - n*I[n-1]. なる漸化式を得ます。(I[0]=x). ※ 前の方が言われるとおり、結果を微分してご自身で確認してください。
お礼
さっそくの回答ありがとうございます。自分なりに部分積分をしてみたのですが、勘違いがありました。
- tmppassenger
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取り敢えずn=1の時に、右辺を微分して左辺になりますか？
お礼
そうですね。吟味が大事ですね。ありがとうございました。
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お礼
二行目で素直に処理すればよかったのですね。ありがとうございます。正しい計算過程をしめしてくださり感謝しております。