座標系の回転の問題 ～角速度を用いて座標系S'のベクトルを求めよ～
- 座標系Sと回転する座標系S'の関係を考える問題です。
- 時刻tにおける座標系S'のx'軸、y'軸、z'軸方向の単位ベクトルを求めます。
- ベクトルi'(t)、j'(t)、k'(t)がどのような回転をするのか、図を用いて説明します。
- ベストアンサー
座標系の回転の問題です
大学物理入門の問題です 【問題】 空間に固定された座標系Sと、回転している別の座標系S'を考える。座標系S'は、Sに対して角速度ω=Ωi+Ωjで回転しているものとする。ただしこれらの座標系の原点は一致するとする。また、時刻t=0においてこれらの2つの座標系は一致するとする。時刻tにおいて、座標系S'のx'軸、y'軸、z'軸方向の単位ベクトルをそれぞれi'(t)、j'(t)、k'(t)とする。 時刻tにおけるベクトルi'(t)、j'(t)、k'(t)を求めよ 問題は以上です 文中のωはベクトル、i、j、kはそれぞれ座標系Sのx軸、y軸、z軸方向の単位ベクトルです できれば、ベクトルi'(t)、j'(t)、k'(t)がどのような回転をするのか、図を用いて説明していただけると嬉しいです どなたか知恵をお貸しください よろしくお願いします
- ititenn2
- お礼率100% (1/1)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数2
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
座標軸の 回転軸に平行なベクトルを ω=Ωi+Ωj=(Ω;Ω;0) とする |ω|^2=2Ω^2 角速度を |ω|=Ω√2 とする 回転軸に平行な単位ベクトルは n=ω/|ω|=(1/√2;1/√2;0) e_x=(1;0;0) (n,e_x)=1/√2 e_xの回転軸に平行な成分ベクトルをe_x0とすると e_x0=(n,e_x)n=(1/2;1/2;0) e_xの回転軸に垂直な成分ベクトルをe_x1とすると e_x1=e_x-(n,e_x)n=(1/2;-1/2;0) 回転軸の右周りにe_x1を90°回転したベクトルをe_x2とすると e_x2=n×e_x1=(1/√2;1/√2;0)×(1/2;-1/2;0)=(0;0;-1/√2) だから 時刻tにおけるx'軸方向単位ベクトルは i'(t) =e_x0+cos(t|ω|)e_x1+sin(t|ω|)e_x2 =(1/2;1/2;0)+cos(t|ω|)(1/2;-1/2;0)+sin(t|ω|)(0;0;-1/√2) =[{1+cos(t|ω|)}/2;{1-cos(t|ω|)}/2;-sin(t|ω|)/√2] e_y=(0;1;0) (n,e_y)=1/√2 e_yの回転軸に平行な成分ベクトルをe_y0とすると e_y0=(n,e_y)n=(1/2;1/2;0) e_yの回転軸に垂直な成分ベクトルをe_y1とすると e_y1=e_y-(n,e_y)n=(-1/2;1/2;0) 回転軸の右周りにe_y1を90°回転したベクトルをe_y2とすると e_y2=n×e_y1=(1/√2;1/√2;0)×(-1/2;1/2;0)=(0;0;1/√2) だから 時刻tにおけるy'軸方向単位ベクトルは j'(t) =e_y0+cos(t|ω|)e_y1+sin(t|ω|)e_y2 =(1/2;1/2;0)+cos(t|ω|)(-1/2,1/2,0)+sin(t|ω|)(0;0;1/√2) =[{1-cos(t|ω|)}/2;{1+cos(t|ω|)}/2;sin(t|ω|)/√2] e_z=(0;0;1) e_zと回転軸は垂直だから e_zの回転軸に平行な成分ベクトルは0で e_zの回転軸に垂直な成分ベクトルはe_zだから 回転軸の右周りにe_zを90°回転したベクトルをe_z2とすると e_z2=n×e_z=(1/√2,-1/√2,0) だから 時刻tにおけるz'軸方向単位ベクトルは k'(t) =cos(t|ω|)e_z+sin(t|ω|)e_z2 =[sin(t|ω|)/√2);-sin(t|ω|)/√2);cos(t|ω|)] ∴ i'(t)=[{1+cos(t|ω|)}/2;{1-cos(t|ω|)}/2;-sin(t|ω|)/√2] j'(t)=[{1-cos(t|ω|)}/2;{1+cos(t|ω|)}/2;sin(t|ω|)/√2] k'(t)=[sin(t|ω|)/√2);-sin(t|ω|)/√2);cos(t|ω|)]
関連するQ&A
- 2つの座標系
時刻t=0で一致する2つの座標系xy-系(S系)とx'y'-系(S'系)がある。 S'系はS系に対して、原点を中心に一定の角速度ωで回転している。 時刻tにおけるS系から見た質点Pの位置座標を(x(t),y(t))とし、S'系から見たそれを(x'(t),y'(t))とする。 x'軸上に固定された点(x',y')=(a,0)とy'軸上に固定された点(x',y')=(0,b)とを、時刻tにおいてS系から見たとき、それらの座標値を求めよ。 x'=xcosωt+ysinωt y'=-xsinωt+ycosωt ここからどうすればよいのですか？ 詳しい解説お願いします。
- ベストアンサー
- 物理学
- 3次元での回転による座標変換
3次元での回転による座標変換に関して質問があります． X軸，Y軸，Z軸の直交座標系があるとします． この座標系において，ある位置ベクトル(a1,b1,c1)がX軸，Y軸，Z軸と成す角度は，θx，θy，θzは，ベクトルの内積から算出可能だと思います． θx=a1/sqrt(a1^2+b1^2+c1^2) θy=b1/sqrt(a1^2+b1^2+c1^2) θz=c1/sqrt(a1^2+b1^2+c1^2) X，Y，Zの直交座標系を回転させて，この位置ベクトルの向きを基準としたX'軸，Y'軸，Z'軸による新しい直交座標系を設定するには，どのようにすればよいでしょうか？ θx，θy，θzと各軸での回転角度は違うものという認識でいいのでしょうか？ 元の座標系において，各軸回りに順番に回転させればいいかと思うのですが，どうもイメージがつかみきれません． よろしくお願い致します．
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 座標変換による回転角の求め方
直交座標系で定義されている任意のベクトル（ｘ１、ｙ１、ｚ１）に対し、そのベクトル方向に直交座標系のｚ軸が向くようにするための各軸回りの回転角（θx、θy、θz）の求め方（式）を教えてください。
- 締切済み
- 数学・算数
- 回転した座標軸と一致させるための回転軸と角度の算出
こんにちは。お知恵をお借りしたく質問致します。 プログラミング中で出た話題なのですが、計算の問題ですので数学カテゴリが適しているだろうと思い、投稿いたします。 ちょっと説明しにくく図を添付致しましたので併せてご覧いただければと思います。(線がふるえていて申し訳ないです。) 図のように、xyz座標を回転してXYZ座標の向きに一致させたいと考えています。 また、「指定した軸(α,β,γ)を回転軸としてθ度回転する」という関数があるので、それを活用しようと考えています。α,β,γはコサイン値(方向余弦)です。回転方向は、ベクトルの向きに時計回り…右ネジの法則みたいな感じです。 x軸から見たXの角度(θxX), y軸からのX(θyX), z軸からのX(θzX) 同様にx軸から見たY(θxY),θyY,θzY、θxZ,θyZ,θzZ といったように、それらの角度(コサイン値)は分かっています。 (=xyz座標からみたXベクトルの方向余弦、Yベクトルの方向余弦、Zベクトルの方向余弦が分かっている。) z軸とZ軸の外積を取ったベクトルを回転軸として、θzZが分かっているのでその角度で回転することでZ軸は一致しますけど、XY軸は合いません。(当然ですが…) そのXY軸を合わせるためにまた回転するというのも遠回りで、任意の軸1本を中心に何度か回転するだけ(上記関数を1度使用するだけ)で、必ず向きが一致する解があると思うのですが、その任意軸と角度を算出する方法が分かりません。 一般にどういう計算をするのでしょうか。アドバイスいただければ幸いです。 なお、上記関数を用いない方法でも構いません。 「X軸（Y軸、Z軸）を回転軸としてφ度回転する」という関数もあるので、オイラー角を求める方法でも構いません。 その他、説明不足な点がありましたら随時追記致しますので、ご指摘願います。 どうかよろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 角速度のベクトルの方向は何故回転軸なんでしょうか
角速度のベクトルの方向は、回転軸になるというのが納得できません。 例えば、極座標系で、ある粒子がＺ軸を中心に右周りに半径を変えず回転していたとして、 位置ベクトルが(s,0,z)だとして、 速度ベクトルは(ds/dt, s*(dθ/dt),dz/dt)=(0,s*(dθ/dt),0)になると思うのですが、 この点からしてもＺ軸については速度が０のはずです。 粒子が動いているのは勿論θ方向なので、直感的に（0,Ω,0)がしっくりきます。 なのに、速度ベクトルΩが何故(0,0,Ω）になってしまうんでしょうか。。 どなたか分かる方教えてください。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 物理学
- 電磁気学の問題で分からない問題があります。
電磁気学の問題で分からない問題があります。 ある空間に電流密度分布ベクトルJ(r,φ,z)=(5/2)×(r^2 -1)k [A/m^2]が存在する。 ここでr[m],φ[rad],z[m]は円柱座標系の座標関係を示しkはz軸方向の単位ベクトルである。この時r=√2[m]における磁界ベクトルを円柱座標系で求めよ。ただし、φ[m],z[m]の座標は任意とする。 解き方も含めて教えていただけると嬉しいです。よろしくお願いします
- 締切済み
- 電気・電子工学
- オイラー角回転後座標系の回転について
オイラー角で回転させた座標系を作成。 その座標系を更に回転させた場合の、 オイラー角を求めたいのですが、上手く行きません。 そこで質問させて下さい。 【やりたい事】 (1)まずは、右手系座標系AをZYXオイラー角(φ,θ,ψ)で回転した座標系A'を作成する。 １．最初にZ軸周りにφ回転 ２．Y'軸（Y軸をZ軸周りにφ回転したもの）周りにθ回転 ３．X''軸（X軸をY'軸周りにθ回転したもの）周りにψ回転 (2)次に回転後座標系A'を回転前座標系AのX軸周りにβ回転したモノを座標系A''とする。 座標系A’’のZYXオイラー角を求めたい。 （AをA''に一致する様に回転した時のZYXオイラー角を求めたいです。） 上記の様な角度は算出できるのでしょうか？ 説明が分かりづらく申し訳御座いませんが、 ご回答何卒よろしくお願い致します。
- 締切済み
- 数学・算数
- 回転＆運動座標系のベクトル
運動座標系に対する運動方程式の計算の仕方がわからないので、お知恵をお借りしたく思います。ベクトルは大文字で示すことにさせてください。(ωもベクトル） 運動座標系 S' と慣性系 S があるとして、S'の原点の S系でのベクトルを R0 とし、S'系での質点の座標を R' とすると R=R0+R'でS系での座標があらわせ、 S系での速度は V= dR/dt = dR0/dt + dR'/dt となります。（ここまでは問題なし） S'系の単位ベクトル(I', J', K')を使うと、 dR'/dt = DR'/dt + ω x R' --- (1) となります。ただし、R'=x'I'+y'J'+z'K' としたとき DR'/dt= dx'/dt I' + dy'/dt J' + dz'/dt K' とします。 (ここまではたぶん理解できていると思います。もし、間違えていたらご指摘ください。） ここからがよくわからないのですが、 加速度ですが、 dV/dt = d^2R0/dt^2 + d^2R'/dt^2 より、後半の d^2 R'/d t^2 = D/dt(dR'/dt) + ω x dR'/dt ----(2) = D/dt(DR'/dt + ω x R') + ω x (DR'/dt + ω x R') ---- (3) = D^2 R'/dt^2 + 2ω x DR'/dt + ω x (ω x R') + Dω/dt x R' ----(4) (dω/dt = Dω/dt + ω x ω および ω x ω = 0 より） 以上より、 F = m dV / dt = m d^2R0/dt^2 + m d^2R'/dt^2 とすると m D^2 R'/dt^2 = m d^2 R'/d t^2 - 2 m ω x DR'/dt - m ω x (ω x R') - m Dω/dt x R' ----(5) = F - m d^2R0/dt^2 - 2 m (ω x DR'/dt) - m ω x (ω x R') - m dω/dt x R' とのことですが、(2) - (4) のあたりがよくわかりません。おしえていただけると助かります。 まず (2) は (1)にd/dt をかけたのだと思いますが、 d/dt (DR'/dt) -> D/dt(dR'/dt) になって、 d/dt (ω x R'）-> ω x dR'/dt ということでよろしいのでしょうか？ また、(4) は (3) を一つずつ、 D/dt(DR'/dt + ω x R') -> D^2R'/dt + Dω/dt x R' + ω x DR'/dt ω x (DR'/dt + ω x R') -> ω x DR'/dt + ω x (ω x R') としたのだと思いますが、 Dω/dt x R' は ω x R'とはならないでしょうか。 （d/dt (ω x R'）-> ω x dR'/dtとは対照的に） よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 物理学
お礼
ありがとうございます 答えもあっていました！ 詳しい解法ものせていただき助かりました