直円錐の最短経路とは?
- 直円錐の最短経路は、底面の半径2、高さ√5の直円錐において、側面上でAからPに至る最短距離を求める問題です。
- 三平方の定理を利用して計算すると、直円錐の頂点から底面の中心までの距離は3となります。
- 直円錐の底面の全円周の長さは4Πであり、側面上でAからPに至る最短距離は直線となります。
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直円錐の最短経路
底面の半径2、高さが√5の直円錐がある。この直円錐の頂点をO、底面の直径の両端をA,Bとし、線分OBの中点をPとするとき、側面上でAからPに至る最短距離を求めよ。 という問題の解説がわかりません。 三平方の定理から OA=√2^2+√5^2=3、直円錐の底面の円周の長さは、2*Π*2=4Π OAで切ったときの直円錐の側面の展開図において、全円周の長さは、2*Π*3=6Π 扇型AOA´の弧ABA´に対する中心角∠AOA´をθとする。弧ABA´の長さは直円錐の底面の円周の長さに等しいから。 6Π*θ/360°=4Π ゆえに θ=240° 側面上において、APが最短距離のとき、展開図ではAPは直線になる。 ここからの解説がよくわかりません。 よって三角形OAPにおいて、∠AOP=1/2*θ=120° 添付した画像でA´のところになぜBが来ないのでしょうか。 中心角が180°以上のときは、中心角/2の位置に、底面の直径の端の片方が来るのでしょうか。 解説がなぜ正しいかを高校生がわかる範囲で教えてください。
- situmonn9876
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質問者が選んだベストアンサー
質問者様が添付された画像の図に描かれている扇形AOA'は、直円錐の側面上の直線OAで側面を切り開いた展開図であり、それを元の直円錐の側面に戻す際には、直線OAと直線OA'が重なる様にして扇形AOA'を丸める事になります。 つまり、直円錐の側面上の直線OAで側面を切り開いた事により展開図上では2つの点に分かれてしまっただけで、元々、直円錐の状態となっている時には点Aと点A'は同一の点だったのです。 >底面の直径の両端をA,Bとし とある事から明らかな様に、点Aと点Bは異なる位置にある点なのですから、「点Aと同一の点である点A'」と「点Aと異なる位置にある点B」が異なる位置になり、 >添付した画像でA´のところになぜBが来ない のは当たり前の話です。 そして、 >底面の直径の両端をA,Bとし という条件がありますから、底面の円周に沿って右回りに測った場合の弧ABの長さと、底面の円周に沿って左回りに測った場合の弧ABの長さは等しくなり、点Aを起点として底面の円周上を一周する場合を考えた際に、円周上の中点が点Bという事になります。 質問者様が添付された画像の図に描かれている展開図において、 >弧ABA´の長さは直円錐の底面の円周の長さに等しい のですから、点Bの位置は弧AA'の中点の位置になる訳です。 点Bは弧の中点となる位置にあるのですから、 >中心角/2の位置 になる訳です。
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- f272
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描かれている図は展開図なのだから,紙を切り取ってOAとOA'が重なるように組み立てて円錐を作ってください。小学生でもわかります。
お礼
組み立てるとは、気づきませんでした。ありがとうございます。
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お礼
細かな説明ありがとうございます。