振動の問題です

質問

分からないので教えて頂けると助かります。

N個の質量mの質点がバネ定数kのバネで一列につながっているとする。
j番目の釣り合いの位置からの変位をx_jと表す。
j番目の質点の運動方程式は
(d/dt)^2(x_j)=-ω^2(2x_j-x_(j+1)-x_(j-1))
と表される。
ここで、x_0=0，x_N+1=0，ω=√(k/m)である。
x_j=Asin(kj)+Bcos(kj)として運動方程式を解き、基準振動の振動数を求めよ。

回答No.1

jamf0421

その通り代入すればよいです。右辺の計算の前に次の公式を確認します。
sin(k(j+1))=sin(kj)cos(k)+cos(kj)sin(k), cos(k(j+1))=cos(kj)cos(k)-sin(kj)sin(k)
sin(k(j-1))=sin(kj)cos(k)-cos(kj)sin(k), cos(k(j-1))=cos(kj)cos(k)+sin(kj)sin(k)
右辺=-ω^2{2Asin(kj)+2Bcos(kj)-Asin(kj)cos(k)-Acos(kj)sin(k)-Bcos(kj)cos(k)+Bsin(kj)sin(k)
-Asin(kj)cos(k)+Acos(kj)sin(k)-Bcos(kj)cos(k)-Bsin(kj)sin(k)}
=-ω^2[sin(kj){2A-Acos(k)+Bsin(k)-Acos(k)-Bsin(k)}+cos(kj){2B-Asin(k)-Bcos(k)+Asin(k)-Bcos(k)}
=-ω^2[sin(kj){2A-2Acos(k)}+cos(kj){2B-2Bcos(k)}]
=-2ω^2(1-cos(k))(Asin(kj)+Bcos(kj) ...(i)
さてここでcos(k)=cos^2(k/2)-sin^2(k/2)＝1-2sin^2(k/2)、すなわち
1-cos(k)=2sin^2(k/2)...(ii)
を知っていれば(i)は
(i)=-4ω^2sin^2(k/2)(Asin(kj)+Bcos(kj)=-4ω^2sin^2(k/2)(x_j)...(iii)
となります。
即ちもとの式は
(d/dt)^2(x_j)=-4ω^2sin^2(k/2)(x_j)=-(2ωsin(k/2))^2(x_j)...(iv)
となります。これはx"=-(k^2)xという単振動の式で解は
x=Asin(kt)+Bcos(kt)
となり振動数fは
f=k/2π
となります。(iv)で言えば
f=(1/2π)(2ωsin(k/2))
です。角振動数ならばこれの2π倍ですから
F=2ωsin(k/2)
となります。

お礼

ありがとうございました！