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0か零行列か2
似たような質問ですいません。 Oは零行列とします。零行列でない行列Aがあり、A^3+A=Oを満たすとき、 ｐは二行二列の行列Aの、左上の成分と右下の成分の和です。 ケーリー・ハミルトンの公式より、Aの逆行列が存在しないとすると、 A^2＝ｐAなのでA=ｐとなり、A^3+A＝A(ｐ^2+1)=Oのとき、 A=Oであり、A=0ではないは正しいですか。
- situmonn9876
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- masudaya
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A^2=pA から A=pE とできるのはAが逆行列が存在するときです. なので，A^3+A=0のケーリーハミルトン(A^2=pA)を２回用いて A^3+A=pA^2+A=p^2A+A=(p^1+1)A=0 となります.結果はおなじですがA=pEと言ってしまうと減点されますよ. この後はほかの方も述べていますが，これが成立するのは， p^2+1=0または，A=0となります.A≠0なので p=±iとなります. 逆行列は存在せずに，対角成分の和(トレースといいます)が±iであれば 成立することになります.
- jcpmutura
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iを虚数単位 i^2=-1 で A= (0,0) (0,i) とすると i^3+i=0だから A^3+A=O p=i |A|=O Aの逆行列は存在しない A^2=pA=iA だけれども A≠pI=iI p^2+1=i^2+1=0 A^3+A=O=A(p^2+1) だけれども A≠O だから A=pは正しくない A=pIも正しくない A=Oも正しくない Aが実数の行列の場合は A=O=0だから 「A=0ではない」は正しくない A=0 と書いた場合左辺が行列なのだから 右辺の数字の0は零行列を意味し 「A=0」と「A=O」は同じである 0と零行列は同じである。 もし 「A=0ではない」が正しいと仮定すると 「A=p」の左辺Aは行列で右辺pは行列でないから 「A=p」は正しくない A=p はIを単位行列とすると A=pI を意味する
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