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同次系微分方程式の解法 | 要約
- 同次系微分方程式の解析方法とは?変数分離系以外のアプローチについて解説します。
- 同次系微分方程式で変数分離系が難しい場合、他の解法を試すことをおすすめします。
- 同次系微分方程式の一般的な解き方と、この特定の問題へのアプローチについて解説します。
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同次形高階微分方程式について 同次形高階微分方程式の単元を読んでいますと、「y,dy,d2y について同次の場合」とか「x,dx について同次の場合」とあるのですが、式を見てy,dy,d2y について同次なのか、x,dx について同次なのか判断できません。具体的には、 xy(d2y/dx2)-x(dy/dx)^2+y(dy/dx)=0 はy,dy,d2y について2次の同次形で、x^2(d2y/dx2)+x(dy/dx)+y=0 はx,dx について0次の同次形 であるとありますが、どのように判断すればよろしいのでしょうか?
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下の“微分方程式を解け”という問題がわかりません。 (1) (x+y)+(x-y)(dy/dx)=0 (2) xy(dy/dx)=x^2+y^2 この2つなんですが、一応、同次形微分方程式の範囲なので y/xの形にしてみたんですが・・・ (1) (x-y)(dy/dx)=-(x+y) (dy/dx)=-(x+y)/(x-y) 右辺の分母分子をxで割る (dy/dx)=-(1+y/x)/(1-y/x) y/x=uとおくとy=xuよって(dy/dx)=u+x(du/dx) よって u+x(du/dx)=-(1+u)/(1-u) x(du/dx)=-(1+u)/(1-u) -u x(du/dx)=-(1+u^2)/(1-u) (1-u)du/(1+u^2)=(1/x)dx 両辺を積分というとこの左辺のせきぶんがわかりません。 というかここまでまちがってるかもしれません。 (2) (dy/dx)xy=x^2+y^2 両辺をx^2でわる。 (dy/dx)(y/x)=1+(y/x)^2 y/x=uとおくとy=xuよって(dy/dx)=u+x(du/dx)よって u+x(du/dx)=(1+u^2)/u x(du/dx)=(1+u^2)/u -u x(du/dx)=(1/u) udu=(1/x)dx 両辺を積分 (1/2)u^2=logx+C よって(1/2)(y/x)^2=logx+C y^2=2x^2(logx+C) となり、とりあえず答えは合いました。過程はあってますか? あと、最終的な答えの形なんですがy=で答えるとかx=で答えるとか ってありますか?
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お礼
回答ありがとうございます。 途中の計算でつまんないミスしてて ずっと悩んでたんですが やっと答え出ました。