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対数vsべき乗
shushouの回答
こんばんは。 (1)について これは明らかですよ。 e=(1+h)^n =nC0+nC1×h+nC2×h^2+........+nCn×h^n >nC(k+1)×h^(k+1) (0<k+1<n) ですよね。ｋは任意の自然数ですから問題は k+1<n がいえるのか ということですが、最終的にnは∞にもっていくのですから 最初からnはめちゃめちゃ大きい数だとしておいてかまいませんよね。 だからk+1よりも大きいnをもってきて(i)の不等式などを 議論すればよいのです。 分かりましたでしょうか。 念のため、lim(n→∞) n^k e^(-n) = 0 の証明もかきます。 (i)の不等式の逆数をとって両辺にn^kをかけます。すると n^k e^(-n) ＜n^k/(nC(k+1)×h^(k+1)) 右辺の分子はnのk次式、分母はnのk+1次式ですから nを∞にもっていくと右辺は0に行きますね。 左辺は当然0より大きいのでハサミウチでＯＫです。 (ii)について ＞ひょっとしたら(1)の応用で行けるのかな？ その通りです。(1)のeが自然対数の底にみえて分かりづらいですが eに関しては ＞e=(1+h) (h>0) という条件しかないのですから １より大きい全ての数eに対して(1)は成り立ちます。 よって、 a>1 のとき lim(n→∞) n^2/a^n =0 また、0<a<1のときはa^nは0に向かうので、明らかにlim(n→∞) n^2/a^n =∞ ですね。 (3)はquotaniさんの通りです。
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