自然対数の底と極限
- 自然対数の底 e = lim(n→∞) (1+ (1/n))^n というのは、周知の事実である(ときには定義)と思います。
- 現在、極限 lim(n→∞) (1- (1/n))^n を考えています。グラフ描画ソフトなどで確認した場合、どうもこれは 1/e に収束するようなのですが、どのように計算したらよいのかがわかりません。
- n を -nと置き換えると、lim(n→-∞) (1+ (1/n))^(-n)となり、一見 1/eに収束するように見えるのですが、 n→-∞となっています。この疑問は、lim(n→-∞) (1+ (1/n))^nとlim(n→∞) (1+ (1/n))^nがなぜ一致するのか、という問題と言い換えることができます。
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自然対数の底と極限
自然対数の底 e = lim(n→∞) (1+ (1/n))^n というのは、周知の事実である(ときには定義)と思います。 現在、極限 lim(n→∞) (1- (1/n))^n を考えています。 グラフ描画ソフトなどで確認した場合、どうもこれは 1/e に収束するようなのですが、どのように計算したらよいのかがわかりません。 どなたかご教授お願いします。 ※n を -nと置き換えると、 lim(n→-∞) (1+ (1/n))^(-n)となり、一見 1/eに収束するように見えるのですが、 n→-∞となっています。 この疑問は、 lim(n→-∞) (1+ (1/n))^nとlim(n→∞) (1+ (1/n))^nがなぜ一致するのか、という問題と言い換えることができます。
- buenaarbol
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#2です。 >もしよろしければ、後学のため、ご自身が発想に至った経緯(自力で思いついたのか、以前どこかの問題集で解かれた経験があるのか、常識なのか)ということを補足していただけないでしょうか? 実はそんなに難しいことはしてません。 なんとか(1+1/n)^nと(1-1/n)^nを絡めようと式をごちゃごちゃいじってみたけど、 よくわからなかったので、とりあえずnに具体的な数字をいくつか入れてみただけです。 実際、a_n = (1+1/n)^n、 b_n = (1-1/n)^nとすると a_1 = 2/1 a_2 = 3/2・3/2 a_3 = 4/3・4/3・4/3 a_4 = 5/4・5/4・5/4・5/4 b_1 = 0/1 b_2 = 1/2・1/2 b_3 = 2/3・2/3・2/3 b_4 = 3/4・3/4・3/4・3/4 これを見て、a_nとb_(n+1)を掛ければ打ち消しあってn/(n+1) だけが残ってうまくいきそうだというのが見えてきて、回答に至りました。
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- waiwai_21
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(1-1/n)^n の代わりにnをひとつ進めた (1-1/(n+1))^(n+1)を考えるとわかりやすいです。 (1-1/(n+1))^(n+1) =(n/(n+1))^(n+1) =((n+1)/n)^(-n-1) =(1+1/n)^(-n-1) ={(1+1/n)^(-n)}{(1+1/n)^(-1)} あとはnを無限大に飛ばしてやれば (1+1/n)^(-n)→1/e (1+1/n)^(-1)→1 となるので、全体で1/eになります。
お礼
ご回答ありがとうございます。 なるほど。 うまく式を変形すれば計算できたのですね。 発想に至りませんでした。 もしよろしければ、後学のため、ご自身が発想に至った経緯(自力で思いついたのか、以前どこかの問題集で解かれた経験があるのか、常識なのか)ということを補足していただけないでしょうか?
- Tacosan
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log が連続であることを使う?
お礼
ご回答ありがとうございました。 上記の方の解法で解決することができました。 しかし (1+ (1/n))^nの連続性を見るという点で、新しい知見を与えていただいたと思います。 どうもありがとうございました。
補足
いつもありがとうございます。 >log が連続であることを使う? 具体的にはどういうことをためしてみたらいいでしょうか。 今考えたことですと、 例えば m=1/nとすると、 「lim(n→-∞) (1+ (1/n))^nとlim(n→∞) (1+ (1/n))^nが一致する」 という問題は、 「(1+m)^(1/m) は m→±0の極限が一致する(=連続?)」、ということと同じであると思います。 logをとってみると、 log(1+m) / m が m→±0 の極限が一致する ということになります。 これを何とかして証明できればいいのでしょうか?(思いつきませんが)
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