次の特定の積分方程式の正の解の存在とその一意性

質問

次のような特定のHammerstein方程式について、正の解f>0が存在して一意に決まることを証明する方法を教えていただけないでしょうか。

f(x) = ∫_a^b K(x,y) f(y)^c dy,　a≦x≦b
ここでK(x,y)>0かつ連続、0<c<1とする。

ただし、条件は上に記載されているもののみです。
つまり、K(x,y)の絶対値の上限や区間[a,b]の長さに関する条件を与えたり、特定のLipschitz条件を満たすような関数空間を考えるのは無しです。
正の解の存在とその一意性は確かに言えるらしいですが、その証明方法がわかりません。

仮にc=1のFredholm方程式

f(x) = ∫_a^b K(x,y) f(y) dy,　a≦x≦b

であれば、

M * (b-a) < 1　（Mは|K(x,y)|の上限）

のときに右辺で定義される写像が縮小写像になり、条件付きですが、解の存在とその一意性が示せます。しかし、上で示したい内容は、そもそも|K(x,y)|や(b-a)とは無関係に一意の正の解の存在証明ができるという点に特徴があります。

よろしくお願いします。

回答No.3

jcpmutura

a≦x≦b
K(x,y)>0連続
0<c<1
S(x)=∫_{a～b}K(x,y)dy
f(x)={S(x)}^{1/(1-c)}
とすると
f(x)は[a,b]で連続

f_0(x)=r=f(a)
とf_0を定義する(f_0は[a,b]で連続)
自然数nに対してf_{n-1}
(f_{n-1}は[a,b]で連続)
が定義されている時
f_n(x)=∫_{a～b}[K(x,y){f_{n-1}(y)}^c]dy
とf_nを定義する
(f_{n-1}が[a,b]で連続だからf_nも[a,b]で連続)

f_1(x)=(r^c)S(x)
が成り立つ
ある自然数nに対して
f_n(x)=r^{c^n}{S(x)}^{Σ_{k=0～n-1}c^k}
が成り立つと仮定すると
f_{n+1}(x)
=∫_{a～b}[K(x,y){f_n(y)}^c]dy
=∫_{a～b}(K(x,y)[r^{c^n}{S(x)}^{Σ_{k=0～n-1}c^k}]^c)dy
=r^(c^{n+1}){S(x)}^{Σ_{k=0～n}c^k}
n+1の時も成り立つから
全ての自然数nに対して
f_n(x)=r^{c^n}{S(x)}^{Σ_{k=0～n-1}c^k}
が成り立つ

lim_{n→∞}f_n(x)
=lim_{n→∞}r^{c^n}{S(x)}^{Σ_{k=0～n-1}c^k}
=r^{0}{S(x)}^{1/(1-c)}
={S(x)}^{1/(1-c)}
=f(x)

f(x)
=lim_{n→∞}f_n(x)
=lim_{n→∞}∫_{a～b}[K(x,y){f_{n-1}(y)}^c]dy
=∫_{a～b}[K(x,y){lim_{n→∞}f_{n-1}(y)}^c]dy
=∫_{a～b}[K(x,y){f(y)}^c]dy
∴
f(x)={∫_{a～b}K(x,y)dy}^{1/(1-c)}
は
f(x)=∫_{a～b}[K(x,y){f(y)}^c]dy
の解です

お礼

確かに正の解が存在することを示していただきありがとうございます。
質問文には書きませんでしたが、任意の非負・非ゼロの（連続）関数から上記のsuccessive approximationによって一様収束することも知られているらしいです。

残るは一意性の証明ということですが、もしこれについて何かアイディアをお持ちでしたら教えていただければ幸いです。

回答No.2

noname#221368

#1です。

＞・・・その上でどのような議論に・・・

　いや、そこまでは・・・(^^;)。
　でもフレドホルム方程式のケースをなんとか拡張できませんか？。

　フレドホルム方程式の場合、M * (b-a) < 1は積分に関する平均値定理で、右辺の積分を繰り返す（f(x)をf(y)へ代入する）事により、等比級数　M^n*(b-a)^n＜1　が0に収束するというのが、縮小写像の構成の筋になるような気がしました。

　Mの存在の他に、まだ一般的に言える事があるのかも知れないとしか、現状では言えません。申し訳ない。

お礼

ありがとうございます。

M(b-a)<1はおっしゃる通りです。f(y)^cがLipschitz条件を満たすとすれば同様の議論ができます。ただ、このような場合、MやLipschitzの定数が十分地裁という条件付きの議論になってしまいます。

Fredholm方程式については参考文献(Birkhoff, 1957)を発見しました。かなり一般的な条件で正の解の存在と一意性が言えそうです（まだ論文を読んでませんが）
http://www.ams.org/journals/tran/1957-085-01/S0002-9947-1957-0087058-6/S0002-9947-1957-0087058-6.pdf

回答No.1

noname#221368

「K(x,y)>0かつ連続」は、R^2でK(x,y)>0かつ連続と解釈して良いですか？。何の条件も付けられてなければ、文脈から普通はそう受け取ると思うのですが。

　で、R^2でK(x,y)>0かつ連続なら、yに関する閉区間[a，b]で連続となり、閉区間で連続な関数は一様連続なので、自然に閉区間[a，b]上のK(x,y)の最大値M(x)が存在します。

補足

はい。K(x,y)はR^2上で連続としてください。
第二段落はおっしゃる通りですが、その上でどのような議論になるのでしょうか。