- ベストアンサー
次のような特定の積分方程式の解の一意性
次のような特定のHammerstein方程式について、解fが一意に決まることを証明する方法を教えていただけないでしょうか。 f(x) = ∫_a^b K(x,y) f(y)^c dy, a≦x≦b ここでK(x,y)>0かつ連続、0<c<1とする。 ただし、条件は上に記載されているもののみです。なので、K(x,y)の絶対値の上限や区間[a,b]の長さに関する条件を与えたりするのは無しです。 解の一意性は確かに言えるらしいですが、その証明方法がわかりません。 縮小写像であることを示すのかなあと思いつつ、その方法が思いつきません。 よろしくお願いします。
- mame2016
- お礼率75% (22/29)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数2
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
明らかにf(x) = 0は題意を満たす。 一方、例えばK(x,y) = L(x) (K(x,y)はyに依存しない）ようなKを考え整理すると、 f(x) = D * K(x) , D = ∫[a,b] (f(y))^c dyとなるから D = (D^c) * ∫[a,b] (K(y))^c dy となってD≠0なら D^(1-c) = ∫[a,b] (K(y))^c dy で、右辺は正の(K(x)だけで決まる）定数だからこれは解ける。 従って、f(x) = ( ∫[a,b] (K(y))^c dy )^(c-1) K(x)という解があり、解は一意でない。
関連するQ&A
- 次の特定の積分方程式の正の解の存在とその一意性
次のような特定のHammerstein方程式について、正の解f>0が存在して一意に決まることを証明する方法を教えていただけないでしょうか。 f(x) = ∫_a^b K(x,y) f(y)^c dy, a≦x≦b ここでK(x,y)>0かつ連続、0<c<1とする。 ただし、条件は上に記載されているもののみです。 つまり、K(x,y)の絶対値の上限や区間[a,b]の長さに関する条件を与えたり、特定のLipschitz条件を満たすような関数空間を考えるのは無しです。 正の解の存在とその一意性は確かに言えるらしいですが、その証明方法がわかりません。 仮にc=1のFredholm方程式 f(x) = ∫_a^b K(x,y) f(y) dy, a≦x≦b であれば、 M * (b-a) < 1 （Mは|K(x,y)|の上限） のときに右辺で定義される写像が縮小写像になり、条件付きですが、解の存在とその一意性が示せます。しかし、上で示したい内容は、そもそも|K(x,y)|や(b-a)とは無関係に一意の正の解の存在証明ができるという点に特徴があります。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 積分方程式の解の存在条件
次の積分方程式 ∫K(x, y)f(y)dy=g(x) の解が存在するための必要十分条件というのは知られているでしょうか？ 積分範囲やKの条件はある程度制約があってもよいです。 例えば、K(x, y)=K(y, x) あるいは半無限区間である等 背景としては、連立一次方程式Ax=yの解が存在するための必要十分条件は detA=0であることですが、 それを連続空間に拡張できるかどうかということに興味があります。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- xに関する方程式の解の求め方
a,bを定数とし、-1.5<a<-1の条件下で f(x,y) = {(x+y)^a - b}x をxについて偏微分したもの、つまり ∂f(x,y)/∂x = {(x+y)^a - b} + a{(x+y)^(a-1)}x が0になる時の解が求めたいのですが上手い方法が思いつきません。 もしくは他にf(x,y)のyを定数と見た時の最大値がわかる方法があれば良いのですが、どちらかわかる方が居らっしゃれば回答よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- ４次方程式の解についての問題
f(x)=x^4-kx^2+4x+k+3で、f(x)=0が異なる４つの実数解をもち、４つの解a,b,c,dをa<b<c<dとする。 a+c+dとacdをそれぞれkを用いて表せ。（慶応理工 今年） f(x)=(x+1){x^3-x^2+(1-k)x+k+3}だから、1つの解は-1とわかる。 f(x)=0から、k=x^2+1-{4/(x+1)}となり、g(x)=x^2+1-{4/(x+1)}のグラフから、c=-1。 x^3-x^2+(1-k)x+k+3=0の解が、a,b,dとなり解と係数から、 a+b+d=1・・(1) ab+bd+da=1-k・・・(2) abd=-k-3・・・(3) (1)(2)(3)からa+dとadをkの式で表せればよいと思いましたが、できませんでした。 アドバイスをよろしくお願いします。 因みにこのあとに続きの問いがあって、k->∞のとき、bcの値の極限値を求めよ、これは グラフから考えて、b->-1 だから、1になりました。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ３元連立１次方程式の解を持つ条件とその解
３元連立１次方程式の解を持つ条件とその解 次の３元連立１次方程式(1)x+2y+3z=a (2)2x+3y+4z=b (3)3x+4y+5z=c の解を持つ条件とその解を求めます。-2x-y=8a-3b,2y+4z=3a-c,x-z=-3a+2bなどの関係式を求めたのですが、そこからの展開がわかりません。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 2次方程式の解
ax^2+bx+c=0の方程式について abcを自分で入力して、「2次方程式として成り立つか」の判断をし、2次方程式であればその解を求めるプログラムです。 2次方程式の解き方をなんとなく忘れていたので、数IIの教科書やらで確認してみました。 以下のように作成したのですが、解が出るはずの値を入力しても強制的に終了してしまいます。どこがおかしいのでしょうか？ 他に気になる点は、メイン関数にて「2次方程式として成り立った場合」にはサブへ移動ができているのでしょうか。 あと、仮に↑が合っていたとして、異なる2つの虚数解の計算方法は以下のやり方でも良いのかどうかもお聞きしたいです。 よろしくお願いします。 #include<stdio.h> #include<math.h> void niji(double a,double b,double c){ double x1,x2,x3,y1,y2,D; D=b*b-(4.0)*a*c; if(D>0){ printf("2つの異なる実数解\n"); x1=(-b+sqrt(D))/(2.0*a); x2=(-b-sqrt(D))/(2.0*a); printf("x= %f , %f \n",x1,x2); } else if(D==0){ printf("重解\n"); x3=(-b)/(2.0*a); printf("x= %f \n",x3); } else{ printf("2つの異なる虚数解\n"); x3=(-b)/(2.0*a); y1=sqrt(D)/(2.0*a); y2=-sqrt(D)/(2.0*a); printf("x= %f + i %f, %f - i %f\n",x3,y1,x3,y2); } return; } int main(void){ double a,b,c; printf("ax^2+bx+c=0の式のabcを入力せよ\n"); while(scanf("%f %f %f",&a,&b,&c)){ if(a==b==c==0){ break; } else if((a==b==0)&&(c!=0)){ printf("不能\n"); } else if((a==0)&&(b!=0)){ printf("1次方程式になる\n"); } else{// 入力されたabcが↑の3つに該当しなければ niji(a,b,c);//←サブ関数に示した2次方程式を解く } } return 0; }
- ベストアンサー
- C・C++・C#
- 微分方程式の一般解を求めたいです。
dy/dx = (a+by)(c(x)+d(x)y) ここで、a,bは定数、c(x),d(x)はxの区間Ｉで連続とする。 (1)この微分方程式は、変数変換y = 1/b(1/z - a)により次の線形微分方程式に変換されるという。 dz/dx = f(x)z + g(x) をf(x),g(x)をa,b,c(x),d(x)を用いて表せ。 ********************************************* これはf(x) = ad(x) - bc(x) g(x) = -d(x) として答えがでました。 ********************************************* (2)a = b = 1,c(x) = x + 2/x , d(x) = xとするとき、微分方程式の一般解を求めよ。 dz/dx = -2z/x -x という式になると思うんですけど一般解をどう導き出していいのか分かりません。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 連立微分方程式と特殊解について
dx/dt=-3x-y, dy/dt=4x+2yの特殊解が定数A、B,mを用いて、x=Aexp(mt), y=Bexp(mt)と表されるとして、微分方程式の一般解を求める方法を教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分と積分の順序交換
熱方程式 Ut-Uxx=0 (t>0,x∈R) の基本解を (4πt)^(-1/2)・exp(-x^2/4t)=K(t,x)とおきます。 φ(x)をR上有界な一様連続な関数と仮定し、 U(t,x)=∫(R～R)K(t,x-y)φ(y)dy (y∈R)とおきます。 このとき (∂/∂x)U(t,x)＝∫(R~R)(∂/∂x)K(t,x-y)φ(y)dy を満たすことを示し、U(t,x)が熱方程式を満たすことを示そうとしています。 そこで、 以下の微分と積分を入れ替える定理を使って証明しようとしています。 定理１ h=h(x,y)は(a,b)×Rで定義された関数で、次の性質を持つ (1)ほとんどすべてのyについてhはxの関数とみて(a,b)でC1級である (2)∂h/∂xは(a,b)×Rで可積分とする (3)少なくとも１点c∈(a,b)でh(c,y)はR上可積分とする (4)∫(R~R)(∂h/∂x)dyは区間(a,b)の各点xで連続とする このとき∫(R~R)(∂h/∂x)dy＝∂/∂x∫(R~R)h(x,y)dyとなる。 この定理を使って、Uが熱方程式を満たすことに苦戦しています。 どなたか行間の空かない詳しい証明をよろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 初期条件のない微分方程式
ｄ＾２ｙ/ｄｘ＾２ - ５ｄｙ/ｄｘ+６ｙ＝ｘ＾２ これの一般解を求めよ。特解はｙ＝ａｘ＾２+ｂｘ+ｃ （ａ、ｂ、ｃ）定数の形である。 このような問題を聞かれたのですが 「初期値」とか「条件」って（条件：x=0のとき、y=1, dy/dx=1 など）なくても解けるんですか？ はじめて見たので「え！？」ってなってる形なんですけど どなたか解き方を教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ご回答ありがとうございます。 問題に不備がありました。確かに、f(x)=0とnonzeroのf(x)が存在しますね。 正確な質問は、nonzeroなf(x)が一意に存在することを証明するには、でした。 失礼しました。