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直線x=aに対して線対称であればf'(a)=0

y=f(x)のグラフが直線x=aに関して対称であれば f'(a)=0であることを示せ。 全ての実数xに対して、 f(a-x)=f(a+x) が成り立つ。この両辺をxで微分すると、 f'(a-x)・(a-x)'=f'(a+x)・(a+x)' より、-f'(a-x)=f'(a+x) これは全ての実数xに対して成り立つから、x=0を代入して、 -f'(a)=f'(a)より、f'(a)=0 (1)f(a-x)=f(a+x)の変数xは、直線から左右に距離|x|離れた場所をa-x,a+xとされています。 その一方で、直線x=aの変数xは、x軸とy軸の交点から距離|x|離れた場所をxとされています。 場所が違うにも関わらず、両者は同じxを用いています。これで良いのでしょうか？本来ならば、f(a-t)=f(a+t)のように違う変数を用いるべきではないのでしょうか？ (2)-f'(a-x)=f'(a+x)とありますが、本来なら、 - df(a-x)/d(a-x)=df(a+x)/d(a+x) のはずです。「何で微分したか」が違いますが、同じ数のように扱って良いのでしょうか？a-xの値域とa+xの値域が合致するからでしょうか？

みんなの回答

  • 178-tall
  • ベストアンサー率43% (762/1732)
回答No.2

錯誤訂正。 全ての実数xに対して 　f'(a-x) = -f'(a+x) が成立。 特に、x=0 のとき 　f'(a) = -f'(a) つまり、 　f'(a) = 0

STOP_0xc000021a
質問者

お礼

回答ありがとうございました。 自己解決しました。

  • 178-tall
  • ベストアンサー率43% (762/1732)
回答No.1

>y=f(x)のグラフが直線x=aに関して対称であれば 　　↓ >全ての実数xに対して、 >f(a-x)=f(a+x) >が成り立つ。 　　↑ これは OK らしいですね。 … ならば微係数のほうは？ 全ての実数xに対して 　f'(a-x) = -f'(a+x) が成立。 特に、a=0 のとき 　f'(a) = -f'(a) つまり、 　f'(a) = 0 　　

STOP_0xc000021a
質問者

お礼

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