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大学数学です
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I=∫(1-x)/(1+x^2)dx ＝∫1/(1+x^2)dx-∫x/(1+x^2)dx ∫1/(1+x^2)dx=arctanx (1) 証明 x=tanθとおくと dx/dt=d(sinθ/cosθ)=1/cos^2θ 1/(1+x^2)=cos^2θ ゆえに ∫1/(1+x^2)dx＝∫dθ=θ=arctanx ∫x/(1+x^2)dx=(1/2)log(1+x^2) (2) 証明 t=x^2とおくと dt=2xdx ∫x/(1+x^2)dx＝∫xdx/(1+x^2)=(1/2)∫dt/(1+t)=(1/2)log(1+t)=(1/2)log(1+x^2) (1)(2)を用いて I=∫(1-x)/(1+x^2)dx=arctanx+(1/2)log(1+x^2)+C
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- info222_
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I=∫(1-x)/(1+x^2)dx =∫ {1/(1+x^2)+x/(1+x^2)} dx =∫ 1/(1+x^2)dx - ∫ x/(1+x^2)dx =I1 + I2 とおくと I1=∫ 1/(1+x^2) dx x=tant とおくと dx=dt/cos^2(t) , 1/(1+x^2)=1/(1+tan^2(t))=cos^2(t) であるから I1=∫ cos^2(t) dt/cos^2(t)=∫ 1 dt =t+C1=arctan(x)+C1 I2=∫ x/(1+x^2)dx=∫ (1/2)(x^2)' /(1+x^2)dx=(1/2)log(1+x^2)+C2 C=C1-C2として I=I1-I2=arctan(x)-(1/2)log(1+x^2) +C (Cは任意定数) ... (答)
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お礼
ありがとうございます！理解できました。