微分方程式について教えてください
- 質問者は微分方程式について学習中であり、特定の問題に取り組んでいます。
- 質問文章では、微分方程式の途中の計算に関する問題が述べられており、解けない箇所があることを指摘しています。
- 質問者は間違いがどこにあるのか分からず、助けを求めています。
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微分y*(dy/dx)+x-2y = 0について
微分方程式について教えて下さい。 とある問題集があり、そこには最初の式と途中経過があるのですが 自分が試したところではどうしても結果が一致しませんでした。 問題は以下の通りです。 式中の y/x = u として進めていきます。 y*(dy/dx)+x-2y = 0 (1) -> 1+u(u+x*(du/dx)) = 2u (2) -> ∫((u/(u-1)^2)du = ∫(-1/x)dx (3) -> (u-1)x=C*e^(1/(u-1)) (4) (1)が最初の方程式、(4)が結果です。 自分でやると(2)のところでは 1+u(dy/dx) = 2u になります。 (2)から(3)への計算は出来ますが(3)から(4)では log(u-1)+u = -log(x)+C → log(u-1)x = C-u になり先に進めなくなります。 きっとどこかで勘違いしているのだと思うのですが、 何日かおいてみても間違いが分かりません。 どなたか、教えていただけないでしょうか。 よろしくお願いします。
- kusu022302
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> 自分でやると(2)のところでは 1+u(dy/dx) = 2u になります。 それでdy/dxはどうなるの? y=uxなのだからdy/dx=u+x(du/dx)になるんじゃないの? u/(u-1)^2=1/(u-1)+1/(u-1)^2だから(3)の右辺はlog(u-1)-1/(u-1)だよね。
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- bran111
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y*(dy/dx)+x-2y = 0 (1) y=uxとおく。 y'=u+xu' (1)は ux(u+xu')+x-2ux=0 x=0は解として無意味なのでx≠0としてxで割って整理すると xuu'=-(u-1)^2 xu(du/dx)=-(u-1)^2 変数分離して [-u/(u-1)^2]du=dx/x v=u-1とおく。 u=v+1, du=dv [-(v+1)/v^2]dv=dx/x [1/v+1/v^2]dv=-dx/x 両辺積分して logv-1/v=-logx+C uに戻すと log(u-1)-1/(u-1)=-logx+C log(u-1)+logx=1/(u-1)+C yに戻すと log(y/x-1)+logx=1/(y/x-1)+C log[(y/x-1)x]=x/(y-x)+C log(y-x)=x/(y-x)+C (2) これはy=f(x)の形にかけない場合であって、解yは(2)を満たすものというのが正解である。
お礼
詳細な解説をありがとうございました。 数式の変換がうまく出来ていないことを実感しました。 分かっていない箇所へのツッコミが大変適切だったため、もう一方の方をベストアンサーにさせていただきましたが、大変助かりました。 また分からない点があった時にはご助力下さい。
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お礼
的確なツッコミをありがとうございました。 まだ数式の変換等がうまく出来ず。助かりました。