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yがdy/dx+2xy=4x・exp(x^2)

yがdy/dx+2xy=4x・exp(x^2) を満たすとする。 z=exp(x^2)・yとするとき、zが満たす微分方程式を求めよ。 また、zに関する微分方程式を解き、解をyで求めよ。 という問題があります。 専門書にも似たような問題が一切なく、とても苦労しています。 よろしければ、この問題を解く方針をご教授お願いできないでしょうか?

  • nazis
  • お礼率71% (118/166)

質問者が選んだベストアンサー

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  • Knotopolog
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回答No.2

計算してみたので,書いておきます. z=exp(x^2)・y の両辺を x で微分する. dz/dx=d(exp(x^2))/dx・y+exp(x^2)・dy/dx dz/dx=2x・exp(x^2)・y+exp(x^2)・dy/dx 与えられた式,dy/dx+2xy=4x・exp(x^2) から dy/dx は dy/dx=4x・exp(x^2)-2xy となる.これを上の式に入れる. dz/dx=2x・exp(x^2)・y+exp(x^2)・(4x・exp(x^2)-2xy) dz/dx=2x・exp(x^2)・y+4x・exp(2x^2)-2xy・exp(x^2) dz/dx=4x・exp(2x^2) これが,z に関する微分方程式です.これを解くと z=∫4x・exp(2x^2)dx+C,     C は積分定数. ∫4x・exp(2x^2)dx=exp(2x^2) であるから,z は, z=exp(2x^2)+C と求まる.これを z=exp(x^2)・y に入れれば, exp(2x^2)+C=exp(x^2)・y 故に,y は, y=exp(x^2)+C・exp(-x^2) となる. (検算):y=exp(x^2)+C・exp(-x^2) を x で微分すると dy/dx=2x・exp(x^2)-2xC・exp(-x^2) dy/dx+2xy=2x・exp(x^2)-2xC・exp(-x^2)+2x[exp(x^2)+C・exp(-x^2)] dy/dx+2xy=2x・exp(x^2)-2xC・exp(-x^2)+2x・exp(x^2)+2xC・exp(-x^2) dy/dx+2xy=2x・exp(x^2)+2x・exp(x^2) dy/dx+2xy=4x・exp(x^2) で,もとの微分方程式になるので,y=exp(x^2)+C・exp(-x^2)は正しい.

nazis
質問者

お礼

ありがとうございます。 わざわざ、ここまでしていただいて感謝の気持ちでいっぱいいです。 本当に助かりました

その他の回答 (1)

  • carvelo
  • ベストアンサー率49% (49/99)
回答No.1

z=exp(x^2)・yからy=exp(-x^2)・zとして,与えられた微分方程式に代入するだけでは…?

nazis
質問者

お礼

ありがとうございます。 少し考えすぎました

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