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yがdy/dx+2xy=4x・exp(x^2)
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計算してみたので,書いておきます. z=exp(x^2)・y の両辺を x で微分する. dz/dx=d(exp(x^2))/dx・y+exp(x^2)・dy/dx dz/dx=2x・exp(x^2)・y+exp(x^2)・dy/dx 与えられた式,dy/dx+2xy=4x・exp(x^2) から dy/dx は dy/dx=4x・exp(x^2)-2xy となる.これを上の式に入れる. dz/dx=2x・exp(x^2)・y+exp(x^2)・(4x・exp(x^2)-2xy) dz/dx=2x・exp(x^2)・y+4x・exp(2x^2)-2xy・exp(x^2) dz/dx=4x・exp(2x^2) これが,z に関する微分方程式です.これを解くと z=∫4x・exp(2x^2)dx+C, C は積分定数. ∫4x・exp(2x^2)dx=exp(2x^2) であるから,z は, z=exp(2x^2)+C と求まる.これを z=exp(x^2)・y に入れれば, exp(2x^2)+C=exp(x^2)・y 故に,y は, y=exp(x^2)+C・exp(-x^2) となる. (検算):y=exp(x^2)+C・exp(-x^2) を x で微分すると dy/dx=2x・exp(x^2)-2xC・exp(-x^2) dy/dx+2xy=2x・exp(x^2)-2xC・exp(-x^2)+2x[exp(x^2)+C・exp(-x^2)] dy/dx+2xy=2x・exp(x^2)-2xC・exp(-x^2)+2x・exp(x^2)+2xC・exp(-x^2) dy/dx+2xy=2x・exp(x^2)+2x・exp(x^2) dy/dx+2xy=4x・exp(x^2) で,もとの微分方程式になるので,y=exp(x^2)+C・exp(-x^2)は正しい.
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- carvelo
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z=exp(x^2)・yからy=exp(-x^2)・zとして,与えられた微分方程式に代入するだけでは…?
お礼
ありがとうございます。 少し考えすぎました
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お礼
ありがとうございます。 わざわざ、ここまでしていただいて感謝の気持ちでいっぱいいです。 本当に助かりました