四角錐から切り取った立体の体積

質問

「OA=OB=OC=OD=6、AB=CD=6、BC=AD=4の四角錘O-ABCDにおいて、辺OA、ODの中点をP、Q、辺AB、DCを2:1に分ける点をR、S、とする。この四角錘を平面PRSQで切断し、頂点Aを含む方の立体の体積を求めよ。」という問題がどうしてもわかりません。解法の入り口というか、ちょっとしたヒントだけでも構わないので教えていただけると幸いです。

回答No.2

kagakusuki · ベストアンサー

まず、辺ADに対して垂直で点Pを含んでいる平面を考え、その平面と辺ADが交わる点を点E、線分RSが交わる点を点Fとします。
　同様に、辺ADに対して垂直で点Qを含んでいる平面を考え、その平面と線分RSが交わる点を点G、辺ADが交わる点をHとします。
　上記2枚の平面で「四角錐から切り取った立体」を切り分けますと、中央部分の立体は三角形PEFと三角形QHGを底面とする三角柱となります。
　一方、切り分けられた立体の内、両端のものは四角形AEFRを底面とし、点Pを頂点とする三角錐と、四角形DHGSを底面とし、点Qを頂点とする三角錐になります。
　三角柱EFPHGQの体積は、三角形PEFや三角形QHGの面積に、線分PQの長さを掛け合わせる事で求める事が出来ます。
　線分EFや線分GHの長さは線分ARに等しいのですから、底面ABCDに対する点Pや点Qの高さが判れば、三角形PEFや三角形QHGの面積を求める事が出来ます。
　一方、線分ARや線分DSの長さは問題文で指定さている辺ABや辺DSに対する比を使えば求める事が出来ますし、線分AE、線分RF、線分DH、線分GSの長さも、

>辺OA、ODの中点をP、Q、

である事に注目すれば辺ADに対するそれらの線分の長さの比が判りますから、それらを使って四角形AEFRと四角形DHGSの面積を求める事が出来ますので、後は点Pや点Qの高さが判れば三角錐P-AEFRや三角錐Q-DHGSの体積を求める事が出来ます。

　点Pから底面ABCDに対する垂線を引き、その垂線が底面ABCDと交わる点を点Iとしますと、点Iは対角線AC上に存在していますから、

>辺OA、ODの中点をP、Q、

である事に注目すれば線分ACに対する線分AIの長さの比が判りますので、三平方の定理を使って線分ACの長さを求めれば線分AIの長さも求める事が出来ます。
　そして線分AIの長さが判れば、線分APの長さと三平方の定理を使って、線分IPの長さを求める事が出来ます。

お礼

体積出ました！丁寧な回答ありがとうございます！

回答No.1

mnakauye

こんにちは。

　まず補助線PBとQCをひきます。
　四角形ABCDを底面としてPQを稜線とする立体PABCDQ（面PBCQで四角錐を分けた下の部分）の体積は出せますね。底面をABCD、高さは元の四角錐の半分ですよ。

　同じように、四角形RSBCを底面としてPQを稜線とする立体（面PRSQで上記の立体を二つに分けた辺BCを含む側）も同じ方法で出せます。

　求めた二つの体積の差が、求める体積です。

がんばってください。

お礼

大変助かります！ありがとうございました！