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モデル、構造そのものを扱って議論するとは
過去に似たような質問をしていると思います。御容赦ください。 論理学などの文脈で、 自然数N、実数Rの構造は一階述語論理では特徴付けれない 書かれているのをモデル論側からの視点としてよくみるのですが、このモデル、構造というものをどうやって直接議論して扱うのでしょうか(つまり完全に間違い、勘違いと思うのですが、形式体系で扱うことができないのがモデル、構造と思ってしまっているのです、なのでどうやって厳密に扱うのがわからないのです)。 というより言語上で特徴付けれないのになぜ、同型でないモデルが複数あるとわかるのでしょうか？ これは絶対的に、形式体系では自然数の構造が決まらないということではなく、 形式体系における相対性、つまりある形式言語上では特徴付けられる(一意に決まる)が、ある言語上では一意に決まらないということを言っているのでしょうか。 モデルというものを扱うことは、なにか心の中の自然数そのもの、実数そのもの、集合そのもの全体を参照する必要のあることに感じ、怪しいものと見えてしまいます。 実際にはそうではなく、形式体系と同じレベルの厳密さをもってモデルについても議論ができるはずだとは思うのですが、その具体的方法がわからず、ずっと勘違いをこじらせてしまっています(つまりモデルを使った議論は心の中の対象に訴えるような哲学的で怪しいものといった誤解がとけません...)。 この方面に明るい方、お暇でしたらご教授お願いします。助けてください。
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以前、言葉尻の異なる同じような内容の質問をしております。ご容赦ください。 スコーレムの定理によりべき集合公理をもつ公理系にも可算モデルが存在する 無限体k上のベクトル空間の次元という概念は論理式では表現できない ペアノ算術において自然数の非標準モデルが存在する といったものから モデル側の性質をすべて形式体系で書くことはできないということが結論されているのを見るのですが、自分としてはそのような形式体系で書くことができない性質があるということ、その性質について考えるとことが、なぜ記号を対象とした数学という分野でできるのかということが不思議なのです。 つまり（あくまで建前上ではですが）、イメージや心象を閉め出して形式的な文字列の変形、生成で議論できるはずの数学においては形式体系、公理系のモデルも結局何らかの形式的な文字列の変形、生成で定義される以外無いはずであって（モデルを決めるというのは形式体系側の記号や述語に、新しい記号や述語を対応させた新しい形式体系を実装として定めるということだと考えています） 例えば 実数の公理系の非可算のモデルの更なる可算モデルを考えると、そもそも非可算モデルとはなんだったのだろうか（何をもって非可算といっていたのだろうか もちろん元の体系内で、ある集合が可算無限の集合と１：１対応のつけられないということが証明できるということをもってなのでしょうが、しかしそれも体系の外に出てみると可算モデルになっていることがあるということならどこまで行っても本当に非可算かどうかを確かめることはできないのではないだろうか つまり何をもって非可算となすという基準が作れないように見え、それならば非可算というもの自体がどういうものかわからないのではないか なら最初の非可算モデルとはいったい何だったんだろうといったように） ベクトルの次元という概念も表現できる視点があって初めて、ある論理上では表現できないということが分かるのであってその表現できる視点というのも論理式の集合で書かれるしかないのではないか ならば次元という概念も論理式の集合で表現できることになるのでは 標準的な(N,0,1,＋,・,＜)のＮも数学で考えるために論理式で定義されるものなら標準モデルだけを表す公理系があるのではないだろうか もしないならどうやって数学の議論の台に乗せるのだろうか などといった、おそらく擬似問題に悩んでしまうのです。 認識といってしまうといきなり怪しい話になってしまい恐縮ですが、「モデル側の性質をすべて形式体系で書くことはできない」ということは一見して数学の論理は、人間の心象、意味内容を全て認識することができないと受け取ってしまいそうになりますが、形式とモデルの関係はそのようなことをいっているのではなく、数学上の話である以上、体系間の関係のことをいっていると思うのですが正確にはどういうことを表しているのかわからないのです。 おおざっぱにいうと論理式で表せない性質があるということをいうためにはその性質を表すことが必要であり、数学においてはそれも論理式で書くことになると思うので、結局どういうことをしているのか混乱しているのです。 それとも最初に書いたようなことは人間側の推論と論理式での推論の関係（これは本当にイメージ心象と論理式の関係であって、想像上の集合、モデルと形式体系は１：１には対応しない）を、体系同士の関係で表した、まねさせたことから出てきた成果なので たとえば非可算かどうかを確認する絶対的基準なものがどこにあるかなどと言うことは意味をなさないのでしょうか。つまり実装（モデル）側で、ある論理式（可算性、非可算性に相当する）を証明できるものを可算モデル、非可算モデルという名前を付けているだけであって人間の使う非可算という意味とは（建前上は）関係がないということでしょうか。 もちろん例えば、自然数といわれればその意味するところはわかりますし、その自然数と同型でないモデルというのも色々なところで図などをつかって解説されている限り同型でないということや、どういうものかということは分かります、ただそれは明らかにイメージに頼ったものであって、厳密な意味での数学ではどうするのだろう（というか論旨式で表せないものを表すとは何だろう）と考え質問いたしました。 メタレベルと対象レベルを区別できてないが故の疑問だと感じているのですが、モデル（実装）にたいしても、その実装は？さらにその実装は？といっていくと結局非可算かどうかを区別できる視点などないのではないかということにならないのでしょうか？ かなり初歩的な勘違いをしていると思いますが、この方面に明るい方、過去このような疑問を持たれた方、お時間ありましたら解答、解説お願いします
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質問は数理論理学などに登場する「モデル」というものについてです。いろいろな論理や集合を扱った書籍では命題の意味論、真偽判定はこのモデルによってなされるとあります。 これはいかなる数学的構造を形式体系に対応させるかということと思うのですが、 この構造としての集合と要素、関数が各人の持つイメージでしかないように本などには書かれています（集合は丸い囲いのようなもの、要素はいろいろな形を持ったドット、関数はドットをつなぐ矢印もしくは表のようなものとして）。私の理解ではこのモデルは形式体系に内容・内実を与えるものと考えていますが、有限の範囲ならともかく無限モデルではこのイメージ主体のモデルの立場、意味するところがよく分からなくなってしまいます。無限モデルは記述として「以下同様」や「・・・」などと、あとは自然な類推で分かるだろうといった形で書かれており、「ある形式体系の公理が無限モデル上で真になっていることの確認」や「標準モデルと非標準モデルの区別」などが意図していることは人間的な理解としては感じられますが、上に書いたようなモデルの記述では結局無限の行為と判断を想定しているじゃないかと言いたくなる気が抑えられないのです。無限への直観がないと理解できないなどといった怪しげなことは言いたくないですしまた、そういうことを数学で考えるべきではないというのもいろいろなところで聞いています。ですがでは、正式にはどう考えるべきなのでしょうか。 形式体系は一つには意味抜きで無限などを扱うために導入されたものであるはずなので上のようなことは「モデルを新たに体系として翻訳すればどうか」など考えるのですがやはり形式体系とモデルは異なるものなのであり同一視はできないように感じますし（できるとするとモデルもまた記号列の一つというよくも分からないことになってはしまわないでしょうか、しかし「zfcのモデルをzfc内で展開する」などということはよく聞きますし、これは一体どういったことなのかと混乱しております）、またそんなことをしては「公理系を別の公理系に移して議論しているということだろうか」つまり「真とは別の公理系での証明可能性のことを言うのか」など問題が噴出してきます・・・。結局モデルのフォーマルな身分、記述は一体何を以てなされるべきなのかということが一向に明らかになってこないのです。このモデルの正式な、フォーマルな扱いとでもいうべきものが私の伺いたい最大のことと感じます。 加えて上で「真偽判定」という言葉と使いましたが記号列操作による証明と根本的に異なるのでしょうか。どちらもステップを踏んだ何らかな判断にほかならない思われるのです（すなわち記号列変形でたどり着けないところに真偽判定ではたどり着けるということのいっている内容がわからないのです。よく真であるが証明不能といわれるものです、真というものが別の系での証明可能性ということならよくわかるのですが。そしてこれは真偽判定つまりモデルを使った判断というものがどういうものであるかがよくわかっていないためだと感じます・・・。）。 また同じような問題として「無限個の公理を持った体系」（たとえばc≠0,c≠s0,c≠ss0,c≠sss0・・・などを公理として持つ）や「モデル内に無限降下列を持つ」なども意味をとることができません。（後者は常にやろうと思えば一個下の要素の存在をいえるというようなメタ的なものという気もするのですが・・・） 有限のものでなければ扱うのが危険だという懐疑論的なことを言っているつもりはないのですが・・・もしかしたら自分はそういうことを主張しているのでしょうか。もしくはフォーマルな記述、正式な記述ということにこだわりすぎているのでしょうか。 無限の扱いを当然のごとく進めていることが、自分の頭では整理できず、どういった判断が適切であり逆にどういうものが不適切なのかの基準が個々人に任されているように見えるのです。現実の数学としてはまさにそうであって天才はその嗅覚に優れているために他人には見つけられない何かを見つけるのでしょうが、論理学としてはコンセンサスがあるべきと考えます（無限に対するコンセンサスというとどの操作を記号列の操作というのかなど懐疑論レベルも含め様々問題が出てくると感じますがあくまでモデルを正式にどう扱うかのみの話です）。 以上、自分としてもおかしなこと言ってるなと思うところや、勘違い、妄想、妄言の類が入っていると思われ恥ずかしいのですが、助けでくださる方々いらっしゃれば幸いです。
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