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- Water_5
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∫[0,1] 1/(1+(1+x)^2)dx + ∫[0,1] 1/(1+(2+x)^2)dx =∫[1,2] 1/(1+t^2) dt + ∫[2,3] 1/(1+t^2) dt =∫[1,3] 1/(1+t^2) dt
Σ[k=1 to 2n]n/{2n^2+3nk+k^2} = (1/n)*Σ[k=1 to 2n]1/{(k/n)^2+3*(k/n)+2}. ここで、f(x)=1/(x^2+3x+2), (x≧0) とすると、f'(x)=-(2x+3)/(x^2+3x+2)^2<0, ですから、f(x)は単調減少。 よって次式が成立します。 Σ[k=1 to 2n](1/n)*f(k/n)<∫[0 to 2]f(x)dx<Σ[k=1 to 2n](1/n)*f((k-1)/n). n→∞のとき、この式は等式になります。よって、 limΣ[k=1 to 2n]n/{2n^2+3nk+k^2} = ∫[0 to 2]f(x)dx=[ln{(x+1)/(x+2)}] =ln(3/4)-ln(1/2)=ln(3/2).
- info222_
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lim(n→∞) Σ[k=1,2n] n/(2n^2+2nk+k^2) =lim(n→∞) (1/n) Σ[k=1,2n] 1/(1+(1+(k/n))^2) =lim(n→∞) (1/n) Σ[k=1,n] 1/(1+(1+(k/n))^2)+lim(n→∞) (1/n) Σ[k=n+1,2n] 1/(1+(1+(k/n))^2) 後半でk-n=mとおく。 =lim(n→∞) (1/n) Σ[k=1,n] 1/(1+(1+(k/n))^2)+lim(n→∞) (1/n) Σ[m=1,n] 1/(1+(1+(1+(m/n)))^2) =lim(n→∞) (1/n) Σ[k=1,n] 1/(1+(1+(k/n))^2)+lim(n→∞) (1/n) Σ[m=1,n] 1/(1+(2+(m/n))^2) 区分求積法を適用 =∫[0,1] 1/(1+(1+x)^2)dx + ∫[0,1] 1/(1+(2+x)^2)dx =∫[1,2] 1/(1+t^2) dt (← t=x+1とおいて置換積分) + ∫[2,3] 1/(1+t^2) dt (← t=x+2とおいて置換積分) =∫[1,3] 1/(1+t^2) dt =[arctan(t)] [1,3] =arctan(3)-arctan(1) =arctan(3)-(π/4) ...(答) （注：arctan(3)はtan^-1(3)のことです）
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