複素数平面です

質問

α=1+i,β=2+3iとする。複素数zに複素数f(z)=αz+βを対応させる。
1.f(z)=zを満たす複素数zを求めよ。この複素数をz0と表す。
2.z≠z0である複素数zに対して｛f(z)-z0｝/(z-z0)を求めよ。
3.z≠z0である複素数zに対して、複素数平面上で複素数z0,z,f(z)を表す点をそれぞれM,A,Bとする。このとき三角形ABMはどんな形の三角形か。
お願いします

回答No.2

bran111

α=1+i,β=2+3iとする。複素数zに複素数f(z)=αz+βを対応させる。
1.f(z)=zを満たす複素数zを求めよ。この複素数をz0と表す。

f(z0)=αz0+β=z0

z0=-β/(α-1)=-(2+3i)/(1+i-1)=-(2+3i)/i=-3+2i (1)

β=z0-αz0 (2)

2.z≠z0である複素数zに対して｛f(z)-z0｝/(z-z0)を求めよ。

{f(z)-z0}/(z-z0)=(αz+β-z0)/(z-z0)=(αz+z0-αz-z0)/(z-z0) ((2)を使用）

=α=1+i (3)

3.z≠z0である複素数zに対して、複素数平面上で複素数z0,z,f(z)を表す点をそれぞれM,A,Bとする。このとき三角形ABMはどんな形の三角形か。

M(z0), A(z), B(f(z))においてMは定点、Aは任意の点、BはAに対してf(z)=αz+βによって指定される従属点である。
(3)より
　　　　f(z)-z0=α(z-z0)
これは
　　　　BM＝αAM
であることを示しており、複素平面上においてBMはAMを|α|＝√2倍し,偏角(α)＝π/4回転したものであることを示している。つまり|BM|=√2|AM|, ∠BMA=45°である。余弦定理より
　　　　|AB|^2=|AM|^2+|BM|^2-2|AM||BM|cos∠BMA
=|AM|^2+2|AM|^2-2√2|AM|^2(1/√2)=|AM|^2
従って|AB|=|AM|となり、三角形ABMは∠Aを直角とする直角2等辺三角形である。

回答No.1

jcpmutura

α=1+i
β=2+3i
f(z)=αz+β
とする

1
f(z0)=z0
のとき
αz0+β=f(z0)=z0
αz0+β=z0
(α-1)z0=-β
z0=-β/(α-1)=(-2-3i)/i=-i(-2-3i)=2i-3
z0=2i-3

2
z≠z0
のとき
{f(z)-z0}/(z-z0)
={f(z)-f(z0)}/(z-z0)
=(αz+β-αz0-β)/(z-z0)
=α(z-z0)/(z-z0)
=α
=1+i

3
z≠z0
z0=M
z=A
f(z)=B
z-z0=A-M=|AM|e^{i*arg(MA)}
f(z)-z0=B-M=|BM|e^{i*arg(MB)}
とすると
arg(MA)はMAとx軸のなす角度
arg(MB)はMBとx軸のなす角度
で
arg(MB)-arg(MA)=∠AMB
だから
↓
{f(z)-z0}/(z-z0)
=(B-M)/(A-M)
=(|BM|e^{i*arg(MB)})/(|AM|e^{i*arg(MA)})
=(|BM|/|AM|)e^{i[arg(MB)-arg(MA)]}
=(|BM|/|AM|)e^{i∠AMB}
↓(2から)
=1+i
=(√2)(1/√2+i/√2)
=(√2){cos(π/4)+i*sin(π/4)}
=(√2)e^{iπ/4}
↓
|BM|/|AM|=√2
|BM|=|AM|√2
∠AMB=π/4
↓
|AB|^2
=|AM|^2+|BM|^2-2|AM||BM|cos∠AMB
=|AM|^2+2|AM|^2-2√2(|AM|^2)cos(π/4)
=|AM|^2+2|AM|^2-2√2(|AM|^2)/√2
=|AM|^2+2|AM|^2-2|AM|^2
=|AM|^2
だから
|AB|=|AM|
だから△ABMは2等辺3角形だから
∠ABM=∠AMB=π/4
∠BAM=π-∠ABM-∠AMB=π-π/4-π/4=π/2=90°=直角
だから
△ABMは(Aが直角の)直角2等辺3角形