極限の問題が解けません。

質問

極限と言っても分数のところです。
lim(x→∞) x(arctan x/2 - π/2)
という問題です。
画像はこの途中式と答えです。
ここまでは計算できるのですが、どうしても答えが -2 になってしまいます。分数の計算を間違えてると思います。
ここからの計算を少し詳しく教えてください。すみません。お願いします！

回答No.1

noname#232123 · ベストアンサー

極限値は「-２」です。

arctan(x/2)=α とおくと、tanα=x/2, これから、tan(pi/2 - α)=2/x, すなわち、arctan(2/x)=pi/2 - α.
よって、
x*(arctan(x/2) - pi/2)
=x*{pi/2 - arctan(2/x) - pi/2}
=-x*arctan(2/x)
=-x*{(2/x) - (1/3)*(2/x)^3+(1/5)*(2/x)^5 - ...}
=-2 + (8/3)*(1/x)^2 - ...→ -2, (x → ∞)
となります。

お礼

ありがとうございました。
数学が苦手なので、どうしても自分の答えが間違いだと思っていました。詳しく途中式も回答してくださってありがとうございました。

回答No.2

info222_

lim(x→∞) x(arctan x/2 - π/2)
=lim(x→∞) (arctan x/2 - π/2)/(1/x)
0/0型なのでロピタルの定理が適用できて、分子分母を微分した質問者さんのお書きの画像の式のようになりますね。
=lim(x→∞) (arctan x/2 - π/2)'/(1/x)'
=lim(x→∞) {(1/2)/(1+(x/2)^2)}/(-1/x^2)
分子と分母に-x^2を掛けて
=(1/2)lim(x→∞) -x^2/(1+(x/2)^2)
分子分母をx^2で割って
=-(1/2)lim(x→∞) 1/((1/x^2)+(1/4))
=-(1/2)・1/(0+(1/4))
=-(1/2)・4
=-2
と確かに質問者さんの答え「-2」になりますね。

画像の最後の「=-1/2」の行の答えは間違いです。
質問者さんの計算した答え「-2」が正解ですね。

お礼

ありがとうございます。
自分の答えに全く自信が持てなかったのですが、合っていたようで安心しました。詳しく途中式も回答してくださり、ありがとうございます。