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幾何学のアフィン変換の問題を教えて下さい
この問題が分かりません。 問題:平面の幾何に関して (1)アフィン変換は線分の中点を中点に移すことを示しなさい (2)全ての3角形はアフィン合同(アフィン変換で移りあう)を示しなさい という問題です。 分かる方、お願いいたします
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正則1次変換w=A(z)と平行移動w=z+bを組み合わせて得られる変換 w=f(z)=A(z)+b をアフィン変換という (1) 線分の2端点をz0,z1 その移る先をw0,w1 中点の移る先をw とすると w0=A(z0)+b…(a) w1=A(z1)+b…(b) w=A((z0+z1)/2)+b Aは線形だから w={A(z0)+A(z1)}/2+b w={A(z0)+A(z1)+2b}/2 w={A(z0)+b+A(z1)+b}/2 これと(a),(b)から w=(w0+w1)/2 ∴中点は中点に移る (2) 2つの△を△(z0,z1,z2),△(w0,w1,w2) A=(w1-w0,w2-w0)(z1-z0,z2-z0)^{-1} b=w0-Az0 f(z)=Az+b とすると △(z0,z1,z2)は3角形だから z1-z0,z2-z0は1次独立だから (z1-z0,z2-z0)は正則だから逆行列 (z1-z0,z2-z0)^{-1}も正則で △(w0,w1,w2)は3角形だから w1-w0,w2-w0は1次独立だから (w1-w0,w2-w0)は正則だから A=(w1-w0,w2-w0)(z1-z0,z2-z0)^{-1} も正則だから fはアフィン変換となる f(z0)=w0 f(z1)=Az1-Az0+w0 =A(z1-z0)+w0 =(w1-w0,w2-w0)(z1-z0,z2-z0)^{-1}(z1-z0)+w0 =(w1-w0,w2-w0)(1;0)+w0 =w1-w0+w0 =w1 f(z2)=Az2-Az0+w0 =A(z2-z0)+w0 =(w1-w0,w2-w0)(z1-z0,z2-z0)^{-1}(z2-z0)+w0 =(w1-w0,w2-w0)(0;1)+w0 =w2-w0+w0 =w2 △(z0,z1,z2)={z|z=(1-s-t)z0+s*z1+t*z2,0≦s≦1,0≦t≦1} △(w0,w1,w2)={w|w=(1-s-t)w0+s*w1+w*z2,0≦s≦1,0≦t≦1} 0≦s≦1,0≦t≦1 に対して f((1-s-t)z0+s*z1+t*z2) =A((1-s-t)z0+s*z1+t*z2)-Az0+w0 =(1-s-t)Az0+s*Az1+t*Az2-Az0+w0 =s(Az1-Az0)+t(Az2-Az0)+w0 =w0+s(Az1-Az0)+t(Az2-Az0) =(1-s-t)w0+s(Az1-Az0+w0)+t(Az2-Az0+w0) =(1-s-t)w0+s*w1+t*w2 だから △(z0,z1,z2)は アフィン変換fで △(w0,w1,w2)に移るから △(z0,z1,z2),△(w0,w1,w2)はアフィン合同
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