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線形代数の証明
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A= (a,b) (c,d) = (a,b;c,d) とすると f(A)=f(a,b;c,d) ↓(a,b)に関して線形だから f(A)=f(a,0;c,d)+f(0,b;c,d) f(A)=a*f(1,0;c,d)+b*f(0,1;c,d) ↓(c,d)に関して線形だから f(A)=a{f(1,0;c,0)+f(1,0;0,d)}+b{f(0,1;c,0)+f(0,1;0,d)} f(A)=a{c*f(1,0;1,0)+d*f(1,0;0,1)}+b{c*f(0,1;1,0)+d*f(0,1;0,1)} ↓交代性からf(1,0;1,0)=-f(1,0;1,0)→f(1,0;1,0)=0だから f(A)=ad*f(1,0;0,1)+b{c*f(0,1;1,0)+d*f(0,1;0,1)} ↓交代性からf(0,1;0,1)=-f(0,1;0,1)→f(0,1;0,1)=0だから f(A)=ad*f(1,0;0,1)+bc*f(0,1;1,0) ↓交代性からf(0,1;1,0)=-f(1,0;0,1)だから f(A)=ad*f(1,0;0,1)-bc*f(1,0;0,1) ↓正規性からf(1,0;0,1)=1だから f(A)=ad-bc
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- 178-tall
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バレてるでしょうが、一応、錯誤の訂正。 A = [a b ; c d] = [aE1 ; dE2] + [cE1 ;b2]~
- 178-tall
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スタート・ライン? (行の入れ替えは、~ に統一。 A~ = [S ; R] U~ = [0 1 ; 1 0] など) 前出の演算則に沿えるよう A を整形。 A = [a b ; c d] = [aE1 ; dE2] + [cE1 ; dE2]~ あとは演算則を眺めつつ、ひたすら勘定。
- 178-tall
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>線形性、交代性、正規性を満たすとき、行列Aの関数f(A)がad-bcであることを証明しなさい。 # 準備がメンドいようで…。 2 次正方行列 A を [a b ; c d] = [R ; S} ただし R = [a b], S = [c d] と記す。 E1 = [1 0], E2 = [0 1] とすれば、単位行列 U は U = [E1 ; E2] 行の入れ替え。 A~ = [S ; R] U' = [0 1 ; 1 0] 関数 f(A) = のプロパティ。 ・(多重)線形性 f( [pR ; S} ) = p*f( [R ; S} ) f( [R1+R2 ; S} ) = f( [R1 ; S} ) + f( [R2 ; S} ) ・交代性 f( [S ; R} ) = -f( [R ; S} ) ⇒ f( [R ; R} ) = 0 … (1) ・正規性 f(U) = 1 ⇒ f(U') = -1 … (2) と揃えて、さて…?
線形性、交代性、正規性の定義は書けますか?。それがOKなら、後は地道な計算のみです。 ・・・とは言っても、最初は思いつかないかも知れない(^^;)
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