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数学 極限
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A[n+1] = √(A[n] + 1), A[n+1]^2 = A[n] + 1 …(1) かつ A[n+1] ≧ 0 …(2), ここで極限値 A := lim[n→∞] A[n] が存在する(収束する)と仮定すると、(1)の辺々 lim[n→∞] を取って、 A^2 = A + 1, A = (1+√5)/2, (A = (1-√5)/2 < 0 は(2)より不適) ※ここまでで「収束するなら極限は (1+√5)/2」ということは分かりましたが、実際に収束するか発散(振動も含む)するかを確認する作業が残っています。(もし収束すれば「極限は (1+√5)/2」が答えに、発散した場合「極限はない」が答えになります。) ここで、A[n] の A の周りでの増減を考えます。 A[n] - A = A[n+1]^2 - 1 - A = A[n+1]^2 - A^2 = (A[n+1]-A)(A[n+1] + A). 最後の因子は A[n+1] + A ≧ A > 1 なので、 A[n] - A と A[n+1] - A は同符号、 かつ、|A[n] - A| = |A[n+1] - A|・|A[n+1] + A| ≧ |A[n+1] - A| が言えます。ここから、さらに 初項 ≦ A ならば A[n] は上に有界で単調増、 初項 ＞ A ならば A[n] は下に有界で単調減、 が言えるので、単調収束定理によりどちらの場合も A[n] は収束します。 答え: A[n] は収束して極限値は (1+√5)/2■
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