状態方程式

質問

状態方程式の偏微分についての質問です

状態方程式　　PV=nRT　　を変形して、 V=nRT/P　　としたとき、体積Vの微小の変化量dVを求めたいとき、

dV=(∂V/∂T)dT(P,n一定)+(∂V/∂P)dP(T,n一定)+(∂V/∂n)dn(P,T一定)・・・(1)

P、ｎ、Tを変数として、dVを求めるなら（１）式の様に偏微分していいのですよね？

このときもちろんdTやdP、dnは式から消してはダメですよね？

伝わりづらい質問で申し訳ないです、回答待っています。

回答No.5

1o1325 · ベストアンサー

> nが一定ではなくて、変数だとすれば…
>
> dV=V(dT／T - dP／P + dn／n)
>
> ということで大丈夫でしょうか？

はい。大丈夫です。

> 物質量も変数なら、体積の変化量dVには影響しますよ？

はい。影響します。

> それとも、状態方程式で物質量nが一定ではないというのはおかしいのでしょうか？

いいえ。おかしくはありません。むしろ「状態方程式で物質量nが一定でなければならない」というのがおかしいです。V=nRT/P という式は、温度Tと圧力Pが一定であれば、気体の体積Vが物質量nに比例する、ということを示しています。例えば、水上置換法でメスシリンダーやビーカーに気体を捕集するようなとき、メスシリンダーなどの容器内の気体の体積Vは、捕集された気体の物質量nに比例します。このことを利用すると、容器内の気体の体積V(と室温Tと大気圧P)の測定値と状態方程式から、捕集された気体の物質量nを求めることができます。

物質量nが一定である系に対して状態方程式を使う、という場面ももちろんありますけど、どんな場面でも「状態方程式で物質量nが一定でなければならない」ということではないですし、「状態方程式で物質量nが一定でなければならない」と決めてかかるメリットもほとんどないんじゃないかなあと私は思います。

お礼

回答ありがとうございました！

回答No.4

1o1325

V=nRT/Pより
　(∂V/∂T)(P,n一定) = (∂(nRT/P)/∂T) = nR/P = V/T
同様に
　(∂V/∂P)(T,n一定) = (∂(nRT/P)/∂P) = -nRT/P^2 = -V/P
さらにnを一定とするなら dn=0

これらを質問文の式(1)に代入すれば

　dV=(V/T)dT+(-V/P)dP

となるから

nを一定とするなら

　dV ＝ V(dT/T - dP/P)

であっています。

補足

nが一定ではなくて、変数だとすれば…

dV=V(dT／T - dP／P + dn／n)

ということで大丈夫でしょうか？

物質量も変数なら、体積の変化量dVには影響しますよ？

それとも、状態方程式で物質量nが一定ではないというのはおかしいのでしょうか？

回答No.3

Tann3

No.2です。

＞ｄＶ＝Ｖ（ｄＴ／Ｔ － ｄＰ／Ｐ）
＞
＞であっていますよね？

　すみません。私の能力を超えますので、何とも申し上げられません。私の苦手な、熱力学、統計力学やら「エントロピー」の世界ですので。
　お示しのものは、熱力学の第一法則に関するものですよね？

　多分、そんなに単純に解析的には行かないと思います。
　きちんと教科書を紐解いてお勉強するか、こんなサイトを参考にしてください。
http://www.sit.ac.jp/user/konishi/JPN/Lecture/Thermodynamics/Thermodyanmics_7thAll.pdf

お礼

回答ありがとうございました！

回答No.2

Tann3

まあ、純数学的にはそう書けますが、

　　　PV=nRT　　（Ａ）

って、「ボイル・シャルルの法則」の気体状態方程式ですよね？

　ということは、まず

　　n：気体の物質量（質量とモル質量の比）
　　R：気体定数

であって、これは定数です。変数は、圧力：Ｐ、体積：Ｖ、温度：Ｔ　の３つです。

　しかも、（Ａ）式は、「圧力：Ｐ、体積：Ｖ、温度：Ｔの相互の関係式」です。この3つの変数は、相互に従属変数です。
　そういった物理的な条件をきちんと踏まえた上で、偏微分してくださいね。

補足

nを一定とするなら・・・

ｄＶ＝Ｖ（ｄＴ／Ｔ － ｄＰ／Ｐ）

であっていますよね？

回答No.1

f272

普通の式変形ですね。
多変数関数の微分の一番初めの方で学習する内容です。