(Σa_n・x^n)^m

質問

mを自然数として(Σ[n=0↑∞]a_n・x^n)^mが収束する場合にこれをべき級数で表した時のx^kの係数の計算の仕方がよくわかりません。a_nやxは実数とします。

Σ[n=0↑∞]Σ[n=n_1+n_2+…+n_m]a_n_1・a_n_2・…・a_n_m・x^nとして
a_n_1・a_n_2・…・a_n_m=a_0^i_0・a_1^i_1・…・a_j^i_j・…
と表すと有限個のjについてi_j>0でΣ[j=0↑∞]i_j=mであってnを固定するとこの係数をもつ項がm!/(i_1!・i_2!・…・i_n!)個あると考えればいいのかと思ったのですがこの推論は間違っているようです。

別のやり方としてx=0でのk次微分係数を計算してk!で割ればいいと思ったのですが具体的な計算ができませんでした。

回答No.3

nobuyuki0505 · ベストアンサー

No2です。補足読みました。

まず謝罪です。係数のことをすっかりと失念していました。
各項ごとに同じものが
m!/(i_0! … i_n!)
個づつ現れるんですね…

さて、お礼に書いてくれた参考文献のURLで、
i_1+2i_2+…+ni_n=n
が分からないということだったので、説明します。

g(x)=Σa_n x^nとします。

まず、nは考えている項のxの次数です。(x^nの係数を考える)
i_k (0≦k≦n) はx^kの項を選んだg(x)の数です(質問者様が用いているi_kと同じ意味です)。

つまり、x^kはi_k回選ばれます。

つまり、(x^k)^(i_k)=x^(k i_k)となるので、
これらを掛けたときのxの次数はk i_k となります。

これをkが0～nまで掛け合わせるので、
掛け合わせた後のxの次数は i_1 + 2i_2 + … + ni_n
となるはずです。

今考えているのはx^nの係数であったため、
n=i_1 + 2i_2 + … +ni_n
と表せます。

例えば、n=4、m=3の場合だと、
4=2+1+1に対応するものとして、
i_0=0, i_1=2, i_2=1, i_3=0, i_4=0
であるので、(これは3=i_0+i_1+i_2+i_3+i_4を満たす)

これに対応する項は、
3!/(2!1!) a_1^2 a_2 x^4
となります。

他に条件を満たすものは、
4=2+2 (i_2=2)
4=3+1 (i_1=1,i_3=1)
4=4 (i_4=1)
の3つの項があります。

これはNo2で前述した、4の分割のうちで高々3個の和で表すことができるもの、
と一致します。

なお、この参考文献に載っている式は、確かにg(x)^mを明示的に表してはいますが、
具体計算には不向きな表し方となります。

なぜならば、2つの条件
m=i_0+…+i_n
n=i_1+…+ni_n
を満たす組を全て求めることが非常に困難だからです。

特にmが小さくともnが大きくなれば、具体計算は非常に厄介となります。

やはり、No2で説明した
『nの分割のうち高々m個以下の和で表せるもの』
の研究を行わなければ、具体的なn,mに対するx^nの係数を
求めることは困難であると思います。

お礼

> つまり、x^kはi_k回選ばれます。

あ、言われてみれば当たり前でした。
なんで気付かなかったんだろう・・

整数の分割について参考になりました。
ありがとうございました。

回答No.2

nobuyuki0505

No.1です。

分割数を考えると少し考えやすくなるのでは、と思いまして、
再投稿します。

自然数nに対して、nの分割数とは
n=n_1+n_2+・・・+n_k
と、nを1以上の値の和で表す表し方の総数です。
これをρ(n)として表すことにします。

たとえば、n=4の場合は、
4
=1+1+1+1
=2+1+1
=2+2
=3+1
の5通りの表し方があるので、ρ(4)=5です。

上の・・・Σ[n=n_1+・・・+n_m]・・・は、
n=n_1+・・・+n_mは0をいくつか含む可能性があるので、
nの分割のうち、たかだかm個の和で表すことができるものを、
考えればいいことになります。

やはり具体的に明示式を作ることは難しいですが、
nが具体的に与えられたならば比較的簡単に計算ができるのでは？と思います。

たとえば、m=3のとき、x^4の係数は、
a_2 a_1^2
+(a_2)^2 a_0
+a_3 a_1 a_0
+a_4 a_0^2
となります。

与えられたn, mに対して、x^nの係数の項数を求めることは、
「nの分割において、たかだかm個以下の和で表すことができるもの」
の個数を求めることに等しいですが、
これはもしかしたら、「ヤング図形」の分野ですでに考察が行われている可能性があります。

ヤング図形とは、整数の分割に付随する図形のことで、数学では活発に研究されている分野の一つです。

ヤング図形を研究することで、より詳しく答えを表すことができるかもしれません。

回答No.1

nobuyuki0505

一般に漸化式で表すのは不可能ではないでしょうが、

計算式で一発で求めるのは難しいのではないでしょうか？

ここではその考えに至った、私の考えを述べます。

表記をa_kではなく、a(k)などと表すことにします。

そのためにまず、畳み込み積を説明します。

f(x)=Σa_n x^n, g(x)=Σb_n x^n
について、積f(x)g(x)のx^kの係数を考えます。
その係数は、
Σ[i=0→k] a(i) b(k-i)
で表されます。

この値を(a*b)(k)と表すことで、新しい数列(a*b)を定義します。
(a*b) (k) := Σ[i=0→k] a(i) b(k-i)

この(a*b)を数列a(n), b(n)の畳み込み積、といいます。

作り方から明らかに、
f(x)g(x)=Σ(a*b)(k) x^k
が成り立ちます。

この畳み込み積は、
交換律a*b = b*a, 結合律(a*b)*c = a*(b*c), 分配律a*(b+c) = (a*b) + (a*c)
を満たします。

これらを用いれば、
(Σa_n x^n)^m = Σ a*a*・・・*a(n) x^n
が成り立つことが分かります。

ゆえに、質問者様の質問は、
「任意の数列a(n)に対して、その数列の畳み込み積をm回かけた数列a*a*・・・*a(n)の一般項を明示せよ」
と言い換えることができますが、
これは非常に難しい問題だと思います。

もちろん、私の知識不足で、実はよい方法があるのかもしれませんが。

お礼

回答ありがとうございます。
http://www.las.osakafu-u.ac.jp/~yamaguti/jugyo/linalg/senkei_note.pdf
に該当部分を見つけたので画像を貼り付けました。
具体的にはi1+2i2+…+nin=nの部分がよくわからないでいます。
m=1,2,3といった個別の値で微分して係数を求めることはできますが一般のmの場合に困っています。

なお、もともとの動機は解析概論（高木）の練習問題(2)の7番です。