シグマ計算

質問

次の和を求める

Σｋ・（２の（k-1）乗）

ｋ＝１からｎまで
よろしくお願いいたします。

回答No.1

springside · ベストアンサー

これは、「（公比を）掛けてずらして引く」というやり方を使うといいです。

求める和をS(n)と置きます。

S(n)=1・2^0+2・2^1+3・2^2+4・2^3+・・・+(n-1)・2^(n-2)+n・2^(n-1)

上記の両辺に2を掛けると、

2S(n)=1・2^1+2・2^2+3・2^3+4・2^4+・・・+(n-1)・2^(n-1)+n・2^n

となり、辺々引くと、

左辺=S(n)-2S(n)=-S(n)

右辺=1・2^0+1・2^1+1・2^2+1・2^3+・・・+1・2^(n-2)+1・2^(n-1)-n・2^n・・・※
=1+2^1+2^2+2^3+・・・+2^(n-1)-n・2^n
=1・(1-2^n)/(1-2) - n・2^n
=2^n-1-n・2^n = (1-n)・2^n-1

よって、
-S(n)=(1-n)・2^n-1
∴S(n)=(n-1)・2^n+1

注：※の部分は、それぞれの2^kの項を同類項としてまとめて計算しました。

お礼

なるほど答えをきくと簡単ですね。
数を最初計算していったら規則性がまったく見えなく
不思議な値がでたのでとまどいました。

２をかける。２のｎ乗だから２をかける。
ｍのｎ乗ならｎをかけるということですね
ポイントは式をずらしてまず並べよですか。

ありがとうございました。

回答No.2

kyu-hama

求める答えをSとおきます
順に並べると
S=1*1+2*2+3*4+4*8+5*16+…+n*2^(n-1)　　　　　ですね
次に両辺に2をかけて
2s= 1*2+2*4+3*8+4*16+…+(n-1)*2^(n-1)+n*2^n

二つ目の式をずらしてあるのは訳がありまして
上の式から下の式をずれたまま引き算します。
すると
-s=1*1+1*2+1*4+1*8+1*16+…+1*2^(n-1)-n*2^n
となります。
これで左辺の式は最後の一項を除いて等比数列になったので
等比数列の和の公式で計算してください。
最後に両辺に-1をかけて終了です。

お礼

なるほど答えをきくと簡単ですね。
数を最初計算していったら規則性がまったく見えなく
不思議な値がでたのでとまどいました。

２をかける。２のｎ乗だから２をかける。
ｍのｎ乗ならｎをかけるということですね
ポイントは式をずらしてまず並べよですか。

ありがとうございました。