複素数の問題

質問

以下の問題について、解き方と解を教えていただけないでしょうか。

1.複素数a+biの形にする。
（1）e^(3+9πi)
（2）z^3+2iz※z=x+yiとする
（3）(1/2+√3・i/2)^12

2.関数f(z)が正則であるか考え、正則であればf'(z)を求める。但しz=x+yiとする。
(1)f(z)=z^5-3z^3-1

宜しくお願い致します。

回答No.1

info222_

1.
（1）
e^(3+9πi)=cos(9π)e^3+isin(9π)e^3=cos(π)e^3+isin(π)e^3
=-e^3+0 i

（2）
z^3+2iz=(x+yi)^3+2i(x+yi)=(x^3-3xy^2-2y)+(3x^2y+2x-y^3) i

（3）
(1/2+√3・i/2)^12=(cos(π/3)+i sin(π/3))^12=(e^(iπ/3))^12=e^(i4π)
=e^(i0)=cos(0)+i sin(0)=1+i 0

2.関数f(z)が正則であるか考え、正則であればf'(z)を求める。但しz=x+yiとする。
(1)
f(z)=z^5-3z^3-1
正則。
f'(z)=5z^4-9z^2