中3数学の問題の解き方

質問

添付の画像の問題のマル３番（BCの長さ）の解き方を教えてください。
答えは「ルート89－5」です。

回答No.2

atomonados · ベストアンサー

△ＡＤＦと△ＡＢＣについて

　点Ｄは辺ＡＢの中点　と　ＤＦ∥ＢＣ　より

　　△ＡＤＦ∽△ＡＢＣ　かつ　ＤＦ：ＢＣ＝１：２

　また、ＡＣ＝８だから

　　ＡＦ＝ＦＣ＝４　　　　　　　　　　　　　　　　……　(1)

ここでＤＦ＝ｘとおくと　ＢＣ＝２ｘで表される。　　……　(2)

△ＥＧＦと△ＢＧＣについて

　ＥＦ∥ＢＣ　より

　　△ＥＧＦ∽△ＢＧＣ

　また、ＤＥ＝５だから　(2)より

　　ＥＦ＝５－ｘ

　と表されるから　△ＥＧＦ∽△ＢＧＣの相似比は

　　ＥＦ：ＢＣ＝５－ｘ：２ｘ

　である。

　ここで後で必要になるＧＣについてｘの式で表しておくと

　　ＧＣ＝(ＢＣ／(ＥＦ＋ＢＣ))×ＦＣより

　　　ＧＣ＝(２ｘ／(５－ｘ＋２ｘ))×ＦＣ

　これに(1)を代入して整理すると

　　　ＧＣ＝８ｘ／(ｘ＋５)　　　　　　　　　　　　……　(3)

△ＡＤＦと△ＢＧＣについて

　ともに△ＡＢＣに相似なので、△ＡＤＦ∽△ＢＧＣであるから、

　　ＡＦ：ＢＣ＝ＤＦ：ＧＣ

　　　∴　ＢＣ×ＤＦ＝ＡＦ×ＧＣ

　(1),(2),(3)より　これをｘの式で表すと、　

　　　　(２ｘ)×(ｘ)＝(４)×(８ｘ／(ｘ＋５))

　ｘ≠０なので　両辺を２ｘで割り

　　　　　　　　　ｘ＝16／(ｘ＋５)

　両辺を(５＋ｘ)倍して分母を払うと

　　　　　　　ｘ(ｘ＋５)＝16　

　平方完成形に変形して

　　　　　　　(ｘ＋5/2)^2＝16＋25/４

　　　　　　　(ｘ＋5/2)^2＝89/４

　　　　　 ｘ＝－5/2±(√89)/2

　辺の長さＤＦ＝ｘは正だから

　　ｘ＝－5/2－(√89)/2は適さないので　　

　　　　　 ｘ＝－5/2＋(√89)/2

　となる。

したがって　(2)よりＢＣ＝２ｘだから　求めるＢＣの長さは

　　　　　 －5＋√89　(cm)

である。

　(9^2＜89＜10^2なので、ＢＣの長さは4cmと5cmの間になる)

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

noname#215361

△ABC、△ADF、△BGC、△EGFは相似である（2番の答え）
BC=x（cm）とすると、DF＝x/2、EF=5-x/2、CG/BC=FG/EF=x/8
よって、CG=BC*x/8=x^2/8、FG=EF*x/8=（5-x/2）*x/8
また、CG+FG=CF=4（1番の答え）
以上から、x^2/8+（5-x/2）*x/8=4
これを整理すると、x^2+10x-64=0
解の公式から、x=-5±√89
x＞0であるから、BC=x=√89-5（cm）

お礼

ありがとうございました。