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仕事、線積分

uen_sapの回答

  • uen_sap
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回答No.1

教科書をまず見たら そういうレベルの質問ですよ。コレ

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    線積分の問題です。 (x,y)をf(x,y)=(u(x,y),v(x,y))∈R^2に写すC^1級写像f:R^2→R^2が、任意の(a,b)∈R^2に対して、 max{|u_x(a,b)|,|u_y(a,b)|,|v_x(a,b)|,|v_y(a,b)|}≦c を満たすと仮定する。cは点(a,b)の選び方によらない正定数でc＜1/2をみたす。また各(a,b)∈R^2に対し、||(a,b)||=sqrt(a^2+b^2)とおく。 γ:[0,1]→R^2で |u(γ(1))-u(γ(0))|≦int_0^1{sqrt(u_x(γ(t))^2+u_y(γ(t))^2)sqrt(x'(t)^2+y'(t)^2)}dtは成立している 任意のP,Q∈R^2に対して||f(P)-f(Q)||≦2c||P-Q||を示せ。 という問題で、 ||f(P)-f(Q)||=sqrt(|u(P)-u(Q)|^2+|v(P)-v(Q)|^2) となり、それぞれ |u(P)-u(Q)|^2≦2c^2||P-Q||^2 |v(P)-u(Q)|^2≦2c^2||P-Q||^2となればよいので、 p,q∈[0,1],γ(p)=P,γ(q)=Qとおくと |u(P)-u(Q)|≦int_q^p{sqrt(u_x(γ(t))^2+u_y(γ(t))^2)sqrt(x'(t)^2+y'(t)^2)}dtとなる。 この不等式をcと||P-Q||だけで表したいのですが、どうすればよいですか？ よろしくお願いします。

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    線積分の問題ですが、手がつけられません…。 R^2の各点(x,y)をf(x,y)=(u(x,y),v(x,y))∈R^2に写すC^1級写像f:R^2→R^2が、任意の(a,b)∈R^2に対して、 max{|u_x(a,b)|,|u_y(a,b)|,|v_x(a,b)|,|v_y(a,b)|}≦c を満たすと仮定する。cは点(a,b)の選び方によらない正定数でc＜1/2をみたす。また各(a,b)∈R^2に対し、||(a,b)||=√(a^2+b^2)とおく。 (1)γ:[0,1]→R^2をγ(t)=(x(t),y(t)),t∈[0,1]で表される1対1のC^1級写像で、γによる区間[0,1]の像が、2点γ(0),γ(1)を結ぶ線分となっているものとする。次を示せ。 |u(γ(1))-u(γ(0))|≦∫√(u_x(γ(t))^2+u_y(γ(t))^2)√(x'(t)^2+y'(t)^2)dt (0≦t≦1) (2)任意のP,Q∈R^2に対して||f(P)-f(Q)||≦2c||P-Q||を示せ。 (3)P_0をR^2の1点とし、点列{P_n;n=0,1,2,...}を P_(n+1)=f(P_n),n=0,1,2,... で定める。この点列がR^2の収束点列であることを示せ。 (1)はuとγがどのようにつながっているのかが分かりません。 (2)はノルムの処理がうまくいきません。 (3)は(2)を使う事はわかるんですが、ここもノルムから収束点列へ繋げられません。 よろしくお願いします。

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