極限の式の証明

質問

こんばんわ。さっそくですが、

x^n/n! → 0　（n→∞）

だと思うのですが、これの証明の仕方が分かりません。
はさみうちとかかすかな記憶を辿ったのですが、ダメでした・・・。
どなたか教えていただけませんでしょうか？
証明が書いてあるHPでも構いません。

回答No.3

proto

数列a(n)に対して
　lim[n→∞](|a(n+1)/a(n)|)=α
なるαが存在して
　0＜α＜1ならばa(n)→0 (n→∞)

を使います
　a(n)=x^n/n!
と置くと
　a(n+1)/a(n)=x/(n+1)→0 (n→∞)
よって
　lim[n→∞]a(n)=lim[n→∞](x^n/n!)=0

上の定理の証明の前に別の定理を証明して
(1)
あるα(>0)と0<r<1がぞんざいして
任意の自然数nに対して
　|a(n+1)-α| < r|a(n)-α|
　 ⇒lim[n→∞]a(n)=α
(証明)
|a(n+1)-α| < r|a(n)-α| より

　|a(n+1)-α| < r|a(n)-α| < (r^2)|a(n-1)-α| < …
　　　　　　　　　　　　　　< (r^(n-1))|a(1)-α|

　|a(n+1)-α| < (r^(n-1))|a(1)-α|
0<r<1より
　lim[n→∞](r^(n-1))=0
従って
　lim[n→∞](|a(n)-α|)=0

　∴lim[n→∞]a(n)=α
　　　　　　　　　　　　(証明終わり)

定理(1)を使って最初に書いた定理
(2)
数列a(n)に対して
　lim[n→∞](|a(n+1)/a(n)|)=α
なるαが存在して
　0＜α＜1ならばa(n)→0 (n→∞)
(証明)
　lim[n→∞](|a(n+1)/a(n)|)=α<1
より、ある自然数Nとr(0<r<1)が存在して
　n≧N ⇒ |a(n+1)/a(n)|≦r
右を変形して
　|a(n+1)-0| ≦ r|a(n)-0|
この議論より
　lim[n→∞]a(n)=0
　　　　　　　　　　(証明終わり)

この定理とダランベールの判定法がどう違うのか
私には理解できてませんが、とりあえずこれで一通り証明できてるはず。

回答No.2

nabla

スターリングの公式を使うのではだめでしょうか？
ちなみにスターリングの公式とはnが十分大きいときにnの階乗を近似するもので、次のようなものです。
n! ≒ √(2πn)n^{n}e^{-n}
これを使えば、n→∞のとき、
x^{n}/n! ≒ x^{n}/√(2πn)n^{n}e^{-n}
　　　　 ＝ (ex/n)^{n}/√(2πn)
　　　　 → 0
となります。

お礼

ありがとうございます。
その公式はまったく知りませんでした。その公式の証明から入りたいところですが、
なんとか頑張ってみます。どうもでした。

回答No.1

eatern27

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=884508

の(1)とかですかね？

上記質問ではR＞0となっているので、 haruka0322さんのご質問で、x＜0の場合には証明されていませんが、絶対値をとれば、証明できますね。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=884508

お礼

ありがとうございます。
ついちょっと前に同じ質問があったとは・・・申し訳ない。
なんとかなるかもしれません。どうもでした。