極限の証明

質問

n→∞　のとき　1/n*sin(nπ/4)=0
これは「はさみうちの原理」で簡単に解けるのですが、次のような解答だとだめでしょうか。なんとなく数学的でなくだめなのはわかるのですが、どこがいけないのかわかりません。

n→∞　のとき1/nは０になり、-1≦sinα≦1なので、0*X(-1≦x≦1）となる。よって答えは0

回答No.5

larme001 · ベストアンサー

それでもいいとはおもいますが、前で質問されているような部分をきちんと理解しているのかが怪しい記述ではあります。

n→∞のとき　を考えるときは、あくまでそれに近づく”極値”ですから、∞とか0とか数字計算のようにするのは本当は危険なんです。
たとえば、3n/n^2→∞/∞=1とは出来ません。これは分子分母のそれぞれの関数がn→∞に変化したときの変化の度合いが異なるからです。つまり、極限の場合は、部分的に極値をとってそれらを掛け合わせるというより、同時に変化していくときにどうなるか？というような感覚で捕らえなければいけません。

さて、質問の例で言えば、-1≦sinα≦1が常に成り立つのは当然だから、両辺に1/nをかけて、-1/n≦(1/n)sinα≦1/n が成立します。ここまでの過程でnが∞だろうかなんだろうが、まだ無関係です。
ここではじめて、n→∞にもっていきます。すると両辺は文句無く0荷収束しますので、ここで、「はさみうちの原理」が成立するのです。

質問さんの考え方でいくなら、n→∞のときに　X=sin()はいくらか分からないけど-1≦X≦1を満たす定数ですよ。ということがいえるなら、
X/(n(n→∞）)=0といえますということです。厳密にはここでもXの最大値が、n,n→∞よりも小さい（X(max)=1より）ということがいえるので、、、二歩かなりません。ようするに結局は、はさみうちをつかっていることには変わりはありません。

回答No.4

Tacosan

「n→∞　のとき1/nは０になり」はいいし「-1≦sinα≦1なので」もいいんだけど, そのあとで「0*X(-1≦x≦1）となる」としちゃってるのが問題. 確かに「n→∞　のとき1/nは０にな」るんだけど, 決して 0 にならないんだからそれを 0 にしちゃダメでしょう. 「0 になる」と「0 である」はきちんと区別しないと.

回答No.3

mazimekko3

(1/n)*sin(nπ/4)=0[n→∞]
を証明するのならばかまいません。
積項が振動してもその積項がとりうる最大値で収束すれば、どの条件でも明らかに『収束』します。

回答No.2

koko_u_

だめだと思う。

1/n -> 0 ( n -> ∞ ) はいいけど、 sin(nπ/4) は「収束しない」ので
両者の積について、結果が「0 * (何か)」とするのは乱暴すぎます。

高校生くらいまでは「収束するかどうか」にかなり無頓着なので、一見よさそうに感じるかもしれませんが、
はさみうちの原理によって「収束する」ことも同時に証明されていることに注意するべきです。

回答No.1

tuort_sig

>n→∞　のとき1/nは０になり、-1≦sinα≦1なので、0*X(-1≦x≦1）となる。よって答えは0

それでOKですよ。振動型の収束ですね。