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極限の問題です
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>…lim(x→1){(ax + b)/(x - 1)}= 2…(1)、この問題でa = 2, b = - 2になるまではわかったのですが、… どう、わかったのですか?どのように回答したかで、違うのです。ピン、減点にもなるのです。 「極限値が有限確定値をもつ」ことと「その値が2である」ことを分けて考えましょう。次のように回答すれば、実質代入して確かめていることになるので、OKです。 まず(1)の左辺で分母 = x - 1 →0 (x→1)…(2)ですから左辺が有限確定値(収束値)をもつためには「必要条件」として、ax + b→0 (x→1)…(3)でなければならない。従って、b = - a…(4)。このとき、(1)の左辺 = lim(x→1){a(x - 1)/(x - 1)}= a…(5) これと(1)の右辺より、a=2…(6)。(4)よりb = - 2…(6)。つまり、a = 2, b = - 2。 肝心なことは、(4)の条件は「極限値が有限確定値をもつ」ための「必要条件」であって、「十分条件」ではないことです。この明記と認識のもとに、(5)は極限値aを求めていることで、(6)は「その値が2である」であることをいっているわけです。…わかりましたか、「そのa = 2, b = - 2を左辺に代入して2になるので答えはa = 2, b = - 2 である」とは「a = 2, b = - 2のとき、確かに極限値は2となる」という、「十分条件」でもあることをいっているのです。このいいかたは「極限値はaで、その値が2であるからa = 2。また(4)より b= - 2」としてもいいわけで、確かめていることになるわけです。いずれにせよ、「代入して確かめている」のは「十分条件」でもあることをいってます。この「十分条件」でもあることは言及しなければ、減点されてもしかたありません。
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- mmky
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参考程度に 極限の問題としての回答形式ということですね。 まずaとbを求めるために等式 (ax+b)/(x-1)=2 を解いたんですね。 (ax+b)=2(x-1)=2x-2 両辺を比較してa=2, b=-2 ここまでは題意の極限の問題ではないですね。 等式を解いただけですね。 極限の問題としては、a=2, b=-2 を代入して、 xの値をx→1 とした場合、(x-1)→0 分母分子とも0に近づくが比は常に2と なりますね。 lim{(2x-2)/(x-1)} x→1 =lim{2ε/ε}=2 ε→0 ということを答えるものでしょうね。 だから極限の問題としての回答形式ということですね。
解を求めるのにどういう求め方をしているか、です。 普通にやっていればそこまで確認を要求するのはちょっと 行き過ぎの気もします。 極限値を持つために まず lim(ax+b)=0 (x→1)は必要です。 これより a+b=0 が必要条件です。 このとき 与式=lim(ax-a)/(x-1)=a という極限値が求まります。これは決まりますから 十分である(極限値を持つ)ことが確認できたと考えていいでしょう。 よってa=2,b=-2 さらに確認せよというのは行き過ぎと言った理由です。 もちろん検算としてやっておけば安心はできます。
- sanori
- ベストアンサー率48% (5664/11798)
この問題は、x=1以外の時でも、極限値と同じ定数になります。 こういう場合は、代入して検算するのが一番簡単なのです。 別に、代入して確かめるのが「義務」ではないでしょうけど、確かめ方の中で最も便利ということだけです。 ただそれだけのことです。
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