極限の教科書の基本問題で

質問

【lim｛(a√x + b)/(x-1)｝= 2　の等式が成り立つように、定数a,bの値を求めよ。】
（limはx→1です。）

この問題の解き方は、
「右辺が2と有限確定の値になっているから、左辺も有限確定にならないとおかしい」
↓
「左辺は、x→1の時、分母→0になる」
↓
「だから左辺が有限確定になるためには分子も0にならないといけない」
↓
lim(a√x + b)＝0、すなわち、a+b = 0

という流れで解きますよね。
この理屈は理解できるんですが、一方で、
「左辺が0/0になっちゃったら、左辺＝0で右辺＝2であることとつじつまが合わなくなっちゃうのでは？」
という疑問があるのですが、どう考えたらいいですか？

実は学校の授業の時この問題を見たときも全く同じ疑問を持ち、その時は5分くらいウンウン唸ってたら「ああ、なんだそういうことか」と解決できたんです。
でもその時そのことをメモとして残しておかなかったのが悪くて、忘れてしまいました。
でも今回はどうしてもわからない（思い出せない）ので恥ずかしながら質問させてもらいました。

「勘違いしてた」系の疑問だったことは思えているのですが・・・。
よろしくお願いします。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

> a+b = 0
は必要条件でこれから
b=-a　…(A)
を元の式に代入して極限が2となる条件を求めます。
↓
lim｛(a√x + b)/(x-1)｝= lim｛a(√x -1)/(x-1)｝
=lim {a(√x -1)/((√x-1)(√x+1))｝
=lim {a/(√x+1)｝= a/2 =2
↓
a = ?　　　　←分かりますね。
b = -a = ？　←分かりますね。

この(a,b)に対して元の式は、=2という極限値をもつ事を確認して下さい。
（必要十分条件と言える）

お礼

あ～自分は違った思い違いをしてたんですが、この回答を読んでたら思い出しました！

他の方も回答ありがとうございました。

回答No.2

noname#160321

>左辺が0/0になっちゃったら…
0/0になる前に割り切れれば定義外になることはありません。

回答No.1

Tacosan

「左辺が 0/0 になった」としても「左辺=0」じゃないよね....