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集合論のおすすめ教科書
- 数学基礎論への関心から集合論を学ぶ独学者におすすめの教科書を教えてください。
- 赤攝也『集合論入門』を読んだ後、証明の理解が不十分なため別の教科書を探しています。
- 集合論の概念を理解し、数学基礎論を学びたい方にぴったりの教科書を教えてください。
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こんにちは！ 今、(いずれは哲学の議論に着いて行けたり、活かせたりできたらなという目的で)集合論を勉強しています。 先日『集合への30講』という教科書を読み終わりました。 この本では、素朴集合論の基本的定理に証明を与えたり、濃度と順序の考え方、またその接点などが論じられていました。 読んだ感想としては、「順序って結構難しいなあ」という印象を受けました。 新しい教材と共に、集合論の理解をもっと深めたい、また公理論的集合論の理解ができるようになりたいと思っているのですが、何かお薦めの教材はありませんか？ 正直上述の教科書で勉強して、「いま勉強している知識はいったいどこへ向かっているのだろう…？」と思いました、集合論や、またその全体像に対してもより知識を深めていきたいです。 さらに、質問の本筋とは少しずれるのですが… 私が今戸惑っていることは、 (1)濃度の概念や順序の概念についてある程度の理解は得られたが、いったいなぜそれらの概念は必要とされたのか (2)今、集合論はどのような段階にあるのか などがわからなかったことです。 もしよろしければ、お時間がございましたら、この場ででも教えてもらえないでしょうか？ アドバイスをたくさん頂けると本当にありがたいです！(まわりに相談できる方がいらっしゃらないので…) お願いします！
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有限集合の元の数を考えるとき、 「いかなる有限集合よりも元の数が多い有限集合は存在しない」------（A） ことがわかります。一番大きな基数の有限集合が存在しないと言い換えても良いですね。 ところがここに無限集合の概念を導入すると 「いかなる基数の有限集合よりも大きい集合として無限集合がある」---（A’） ここで「大きい」とは二つの集合の元を対応させて行くと、「大きい」方の元が余ることを言います。 ここでは、“超有限集合”＝無限集合という関係が成り立ちます。 さて、公理的集合論の公理により、無限集合Rから常にPower(R)が作れるので、 「いかなる無限集合よりも濃度の数が多い無限集合は存在しない」------（B） が成立しました。 一番大きな濃度の無限集合が存在しないと言い換えても良いですね。 ここで、有限、無限に続く第三の概念として、“超無限集合”＝寿限無集合（仮名）という概念を導入します。 すると、（A）に対して（A’）が成り立ったように、（B）に対して（B’）が成り立ちます。 「いかなる濃度の無限集合よりも大きい集合として寿限無集合がある」---（B’） 質問１：このような寿限無集合はZFC公理系で無矛盾に定義できますか？ 質問２：集合の種類は有限と無限の二種類でしたが、第三の概念を導入すると、無限集合では成り立たないが寿限無集合の世界だけで成り立つ定理も発見できると思うのですが、このような概念の拡張をした数学者はいましたか？ 質問３：有限と無限以外に第三の概念を導入することが無意味であると立証できますか？
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