定数係数の2階線形微分方程式の問題
- 定数係数の2階線形微分方程式について、一般解と特解を求める問題の解法を紹介します。
- 解法として、ラプラス変換を使用する方法と、複素数を用いて計算する方法があります。
- また、解答の一部に誤りがあるようですので、ご指摘ください。
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定数係数の2階線形微分方程式の問題です。
x'' + 2x' + 5x = 2cos(3t), x(0) = 1, x'(0) = 0.・・・・・・・(1) k^2 + 2k + 5 = 0. k = -1±2i. x'' + 2x' + 5x = 0 の一般解 x0 は x0 = e^(-t)(Acos2t + B2sin2t). x を複素数と見なして(1)を書き直すと (D^2 + 2D + 5)x = 2e^(3it). 1/(D^2 + 2D + 5)[2e^(3it)] = 1/( (3i)^+ 2(3i) + 5 )[2e^(3it)] = 1/(-9 + 6i + 5)[2e^(3it)] = 1/( -4 + 6i)[2e^(3it)] = 1/(-2 + 3i)[e^(3it)] = -(2 + 3i)/13[e^(3it)] = -(2+3i)/13(cos3t + isin3t) = (-2/13)(cos3t + isin3t) - (3i/13)(cos3t + isin3t) = (-2/13)cos3t + (-2/13)isin3t - (3i/13)cos3t + (-3i/13)isin3t = (-2/13)cos3t + (-2/13)isin3t - (3i/13)cos3t + (3/13)sin3t = (-2/13)cos3t + (3/13)sin3t) + (-2i/13)sin3t - (3i/13)cos3t = (-1/13)(2cos3t - 3sin3t) - (i/13)(2sin3t + 3cos3t ). (1)の特解を x1 とすると x1 = (1/13)(3sin3t - 2cos3t). よって(1)の一般解 x は x = e^(-t)(Acos2t + Bsin2t) + (1/13)(3sin3t - 2cos3t). x' = -e^(-t)(Acos2t + Bsin2t) + e^(-t)(-2Asin2t + 2Bcos2t) + (1/13)(9cos3t + 6sin3t). x(0) = A - 2/13 = 1. A = 15/13. x'(0) = 15/13 + 2B + 9/13 = 0. 2B = - 24/13. B = -12/13. 求める特解を改めて x とおくと x = (e^(-t)/13)(15cos2t + 12sin2t) + (1/13)(3sin3t - 2cos3t). ラプラス変換による解法では x = (e^(-t)/13)(15cos2t + 3sin2t) + (1/13)(3sin3t - 2cos3t). となりました。どちらかが計算ミスしていると思いますのでご指摘下さい。 ラプラス変換での解法は分数表示が煩雑なので以下のテキストをご参照下さい。 http://ichigo-up.com/Sn2/download/1416878709.txt pass は 1234
- musume12
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ぶっちゃけていうと, 符号を 2ヶ所忘れてる. 複数ヶ所間違えて結果的にあってしまうこともあるんだけど今回はそうなっていない模様. よかったんだか悪かったんだか. 1ヶ所指摘しておくと, B = -12/13 って書いてるのに x = (e^(-t)/13)(15cos2t + 12sin2t) + (1/13)(3sin3t - 2cos3t). は明らかに変だよね. で, ここに来る前でもう 1ヶ所間違えてるところがある. じっと見るとわかるかも.
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- Tacosan
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うん, ラプラス変換で求めた解があってるらしいよ. ということで, 演算子を使った方はもう 1度見直してください. 1文字見落としています.
補足
どこか見落としているのでしょうが見つけられません。特解が x1 = (1/13)(3sin3t - 2cos3t). でまずいということは微分して(1)に放り込めばわかるのですが・・・・
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