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電位の問題
半径r＝6.0×10^(-4)cmの細長い導線とそれを中心軸とする半径R＝1.0cmの導体の円筒がある。導線と円筒の間に800Vの電圧をかけた。導線の表面と円筒の内面での電場を求めよ という問題で、 解答に V＝(λ/2πε⚪︎)log(R/r) とあるのですが、なぜこれでVが求められるのですか？
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- 電磁気学の問題で質問です。
編入試験の過去問のため、解答がありません。 1. 半径aの球があり、その内部は電荷密度ρで一様に帯電している。 球の中心からの距離がｒの位置での静電ポテンシャルをｒ＜aとr＞aの場合について、それぞれ求 めよ。ただし、無限遠点での静電ポテンシャルを0とする。 よくみかける問題のようで少し違います。ｒ＜aとr＞aの場合とあるため、積分区間がわかりませ ん。よくみかける問題はｒ≦aで、内部の電場をr→aで+外部の電場をa→無限で積分しますよ ね？というわけで、区間が分からないです。 2. 半径aの薄い円筒状の導体が接地しておかれている。いま、円筒の中心軸上に細い導線を張り、 線密度ρの静電荷を与えた。円筒および導線は無限に長いものとする。 1)導線が円筒内につくる電場の向きを答えよ。また、その大きさを中心軸からの距離rの関数とし て求めよ。 2)円筒上には面密度σの負電荷が一様に誘導される。σを求めよ。 3)円筒内を電位φを求めよ。 上記の問題は接地という言葉があり、調べてもよくわかりませんでしたので、よければ、接地に対 しての考え方も教えてください。2)はシンプルでもかまいません。1)、2)はなるべく細かく教えてくだ さい。 以上です。独学ですので、易しい回答をお願いします。
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- 電磁気学の問題です。
編入試験の過去問のため、解答がありません。 1. 半径aの球があり、その内部は電荷密度ρで一様に帯電している。 球の中心からの距離がｒの位置での静電ポテンシャルをｒ＜aとr＞aの場合について、それぞれ求 めよ。ただし、無限遠点での静電ポテンシャルを0とする。 よくみかける問題のようで少し違います。ｒ＜aとr＞aの場合とあるため、積分区間がわかりませ ん。よくみかける問題はｒ≦aで、内部の電場をr→aで+外部の電場をa→無限で積分しますよ ね？というわけで、区間が分からないです。 2. 半径aの薄い円筒状の導体が接地しておかれている。いま、円筒の中心軸上に細い導線を張り、 線密度ρの静電荷を与えた。円筒および導線は無限に長いものとする。 1)導線が円筒内につくる電場の向きを答えよ。また、その大きさを中心軸からの距離rの関数とし て求めよ。 2)円筒上には面密度σの負電荷が一様に誘導される。σを求めよ。 3)円筒内を電位φを求めよ。 上記の問題は接地という言葉があり、調べてもよくわかりませんでしたので、よければ、接地に対 しての考え方も教えてください。2)はシンプルでもかまいません。1)、2)はなるべく細かく教えてくだ さい。 ※ 1．2．両方とも電位はただ載せるだけではなく求め方(積分区間等）も教えてください。 以上です。独学ですので、易しい回答をお願いします
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内半径a 外半径b の導体球殻の中心に電気量q(>0)の点電荷を置くとき 各点における電位の分布を求めよ。無限遠方をV=0とする。 という問題で まず、ガウスの法則を用いて電場をもとめて、そこから距離の積分をしてVを求めようとしました。 まず、境界は次の三つであっていますでしょうか。 (1)0<r<aの時(2)a≦r<b(3)B≦r そして各場合の電場は (1)の時、∫ε_0EdS=q より E= q/4πr^2ε_0 (2)の時、 導体の内部なので電場E=0 (3)の時∫ε_0Eds=q E=q/4πr^2ε_0 ここで電位を求める場合の方法ですが境界の値と計算方法に自信がありません。 (3)の時、 V=-∫(∞→r)E・dr = （q/4πε_0）・(1/r) (2)の時、 V=-∫(∞→b)E・dr -∫(b→r)0・dr = （q/4πε_0）・(1/b) (1)の時、 V= -∫(∞→b)E・dr -∫(b→a)E・dr - ∫(a→r)E・dr = (q/4πε_0)(1/r) (1)の答えが解答では(q/4πε_0)(1/r) ではなく (q/4πε_0)((1/b)+(1/r)-(1/a)) となっていました。 なぜなのでしょうか。 ご教授お願い申し上げます。
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以下の問題を解いたのですが解らない点が多かったので私の回答と一緒に書きます。 間違っている点などありましたら訂正願います、また画像を張るのは初めてなので見づらいかもしれません 問1 図1のように、内円筒の半径a(m)、外円筒の半径b(m)の円軸円筒コンデンサがある。 ただし両円筒の厚さは無視できるものとする。円筒間は誘電率ε(F/m)の均質な誘電体で 満たされているとして以下の問いに答えよ。なお同軸円筒は無限長に近似できるとする (1) 円軸円筒コンデンサの単位長さ当たりの静電容量C(F/m)を求めよ。 (2) 電極間の電位差の値がVであるとき円筒間の誘電体内における電場の強さE(V/m)をa,b,Vを 用いて中心軸r(m)の関数で表せ。また、a<=r<=bにおいて電場の強さが最大になるrはいくらか (3) 円筒間の誘電体内において、絶縁破壊を起こさない範囲で許される最大の電場の強さがEsで あるとき許される電極間の電位差の最大値Vsを求めよ (4) 外円筒の半径bが決まっている時、(3)で得られたVsをaの関数と考え、Vs(a)の最大値と そのときのaを求めよ。 解答 (1) E=Q/4πεr^2 からab間の電位差を求め、Q=CVに代入し、C=4πεab/(b-a) 単位長さあたりなのでこれをrで割ったものが答えだと思いました (2)以降は解りませんでした 問２ 図２のように同一の平面内に十分に長い直線導線と辺の長さがa,b[m]の長方形コイルABCD がおかれており、長さaの辺ABは導線に平行でそれからx[m]の距離にある。透磁率は 真空中と同様にμ0である (1) 相互インダクタンスを求めよ (2) 直線導線に、大きさがI1(t)=I0t[A]のように時間t[s]と共に増加する電流が上向きに流れるとき 長方形コイルに祐樹される起電力の大きさV(t)[V]と向きを求めよ (3) 直線導線と長方形コイルABCDにそれぞれI1,I2[A]の直流電流を流した時に、導線と 長方形コイルの間に働く力の大きさF[N]を、直線導線に流れる電流I1によって生ずる磁束密度が コイルABCDの各辺に及ぼす力を足し合わせることで求めよ。 ただし、直線導線と辺ABの電流の向きは同じとする。 解答 (1) 距離x離れた場所に電流Iが作る磁界Hは H=I/2πxなのでB=μH、φ=BS、φ=MIに代入していき M=μ0ab/2πx (2) V(t)=-M・dI1(t)/dt = -M・dI0t/dt =-MI0 であり向きは奥から手前方向 (3) 解けませんでした、ローレンツ力を使うのでしょうか? 問３ 真空の誘電率をε0として以下の問いに答えよ (1) 図3(1)のように半径a[m]の輪状に電荷+q[c]が一様に分布している時、円の中心を通り円が作る 平面に垂直な直線上における電場の向きと大きさE1をqを用いて 中心からの距離x[m]の関数として求めよ (2) 図3(2)のように半径a[m],長さL[m]の中空の円筒状に電荷+Q[c]が一様に分布している時 円筒中心軸上の電場の向きと大きさE2[V/m]を円筒中央からの距離r[m]の関数として求めよ 解答 (1) E1=q/4πε(a^2+x^2) 上向き (2) E2=q/4πε(a^2+r^2) 上向き 自信がないです 以上です、解らなかったと書いた問題も考えたのですが上手く文章にできなかったため書きませんでした よろしくお願いします。
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基本的な電磁気学の問題だと思うのですが教科書などで調べても分からなかったので２つほど質問させてもらいます。 １、断面が半径aの円形で十分長い直線状の導体に電流Iが流れている（電流密度は一様）。 このとき、長さLあたりこの導体内部に蓄えられている磁気エネルギーを求めよ。透磁率はμ。 ２、内円筒半径a、外円筒半径bの無限に長い同軸円筒に、単位長さ当たり＋q、－qの電荷を与えた場合を考える。 (1)電界を求めて、両円筒間の電位差Vを求めよ。 (2)bとVを一定にした時電界の最大値を最も小さくするaの値を求めよ。 私は以下のように考えたのですがつまってしまいました。 間違っている部分を教えてくれるとありがたいです。 １、r>aの条件で考えて半径rの円をとってアンペールの法則を適用するとB(r)＝μI/2πr 磁気エネルギー密度u＝(1/2)*(1/μ)*B^2＝(μ*I^2)/(8*π^2*r^2) 微小変化dUを考えて積分すると磁気エネルギーUは0～aまでの積分で∫(u*2πr*L)drとなったのですが積分でlogが出てきてしまいlog(0)の値がどうしようもなくて困っています。 また、磁気エネルギー密度ではなくBから磁束Φを求めてもできる気がするのですが分かる方は教えてください。 ２、a≦r≦bの時を考える。 半径rで高さhの円筒をとってガウスの法則を適用するとE(r)＝q/(2πεr) Vはb～aまでの積分で-∫E(r)dr={q/(2πε)}*log(b/a) これよりq=(2πεV)/{log(b/a)}となりE(r)に代入するとE＝V/{r*log(b/a)} これはr＝aで最大値を取る。 よってEの分母をf(a)とおいて微分→fが最大となるaの値が求める値となったのですがこれであっているでしょうか？ 答えがなくて困っています。 回答の方よろしくお願いします！
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たびたび質問してしまいすみません。 問題を解いていて疑問に思ったことがあるので質問させてください。 半径a、長さ無限大の円柱導体に、単位長さ当たりλの電荷を与える。 このとき、導体表面の電位は何か？ これを解く方針としては、 ガウスの定理より、導体の中心からの距離をrとして、a≦rでの電界は、 E=λ/2πεr これを[∞,a]の範囲で積分する。 V=-λ/2πε∫dr/r =K(ln∞/a) K=λ/2πε ε：真空の誘電率とします。 =∞ となってしまいます。 何か変なんでしょうが、何が変なのかが全くわかりません。 どうやって解けばいいのでしょうか？ ご教示願います。
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お礼
なるほどです！ ありがとうございます！ 理解できました！