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関数の値の増減と極値についてです。
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(1) y=f(x)=(x^2+3)/(2x)=(x+3/x)/2 (x≠0) y'=f'(x)=(2x^2-(x^2+3))/(2x^2)=(x-√3)(x+√3)/(2x^2) y'=0とするxの値(停留点):x=±√3 f(-√3)=-√3, f(√3)=√3 x<-√3で f'(x)>0, -√3<x<0でf'(x)<0なのでx=-√3の前後でyは増加から減少に変わる。したがって x=-√3のときyの極大値=-√3をとる。 0<x<√3で f'(x)<0, √3<xでf'(x)>0なのでx=√3の前後でyは減少から増加に変わる。したがって x=√3のときyの極小値=√3をとる。 増減表とグラフは省略。自分でお書きください。 [別解1] y=f(x)=(x^2+3)/(2x)=(x+3/x)/2 (x≠0) f(-x)=-(x^2+3)/(2x)=-f(x) なので y=f(x)のグラフは原点対称。 したがってx>0の場合を考えて、x<0の場合は原点対称性を使って考えればよい。 x>0の場合 相加平均≧相乗平均の関係を使って y=f(x)≧√(x(3/x))=√3 等号は x=3/x すなわち x=√3 のとき成立。 x=√3のとき極小値y=√3(最小値) をとる。 x<0のときは原点対称性より x=-√3のとき 極大値y=-√3 をとる。 以上をまとめて(答)とすれば良い。 [別解2] xの実数条件を使うやり方。 y=(x^2+3)/(2x) (x≠0) 2yx=x^2+3 x^2-2yx+3=0 xの2次方程式のxの実数条件より 判別式D/4=y^2-3=(y-√3)(x+√3)≧0 y≦-√3, y≧√3 極大値y=-√3をとるとき (x-√3)^2=0より x=√3 極小値y=√3をとるとき (x+√3)^2=0より x=-√3 以上、3通りの解法を示しました。 (2),(3)についても同様の3通りの解法で解けますのでやってみて下さい。
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- asuncion
- ベストアンサー率33% (2126/6288)
極値を求める問題ですから、 どうしても微分はしなければならないはずです。 問題文の下に書いてある 商の微分公式を使ってみようかな というお気持ちはありますか?
お礼
ありがとうございます。 はい、あります。
- asuncion
- ベストアンサー率33% (2126/6288)
>二通りの解き方があったんですね。 当方は、そういう回答をした覚えはありません。 複数の解き方があるかどうかは、ご自分で探してみてください。
お礼
ありがとうございます。 そう示唆したのかと思ってました。
- asuncion
- ベストアンサー率33% (2126/6288)
>でも画像の問題ではf’(x)>0、f’(x)<0を調べない方が早いですね 何ともいえません。 複数の解き方を思いついたのであれば、 両方で解いてみて、どちらが早いかを ご自分で判断なさるのがよいかと。
お礼
ありがとうございます。 二通りの解き方があったんですね。 実際の値を代入して増減表を求める場合、凄く感覚的になりますね(本当に全ての場合でいえるか不安ですね。)。
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お礼
ありがとうございます。 凄いですね。バリバリですね。 まさかそういう解き方があるとは思いませんでした。 別解でない解法にて、y’は分母にてたまたま(出題者が意図して)変数の二乗(⇒必ず正)が来ているので分母でストレートに割れ、y’>0、y’<0を場合分けせずに求めれますね。