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高校数学の整式の問題です
f(x)=ax^3+bx^2+cx+dは有理数を係数とする多項式であって,任意の整数nに対しf(n)はつねに整数になるとする このとき,ｆ（ｘ）の係数の6倍は整数であることを証明せよ 解説ではf(n)が常に整数であるための条件はf(0)が整数でf(n+1)-f(n)はつねに整数であることと同値とあるのですが、何故これが同値なのか分かりません
- arutemawepon
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ちょっと大ざっぱな理解ですが下記のようなことかと。 例えばｆ（ｎ＋１）－ｆ（ｎ）をやると、元々の式でｘ＾３、ｘ＾２、ｘの係数だった ａ，ｂ，ｃが定数項になる。この値が整数であるかどうかを考えるとa+b+cが整数 かどうかも見えてくる。 こういう論理でしょうね。ただその時に問題文で与えられた前提を崩しては いけないので、同値性を示している（問題で与えられた条件に対して余計な ものを勝手に付け加えたりしていないということを示している）のでしょう。 これから所用があるので取りあえずこの辺で。
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- gohtraw
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＞例えば、d=3/2だったら ＞f(n+1)-f(n)はdの値が消えますから、これが常に整数であったとしても、f(0)=3/2となり、整数にならない。 ＞如何なる整数nに対してもf(n)が整数である、ということは、f(0)が整数という条件も必要となるから''ですか？ そうです。
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分かりました、これで解決できたっぽいです
- gohtraw
- ベストアンサー率54% (1630/2966)
＞f(0)が整数が必要な理由を教えてください やれやれ、そこに戻りますか。 No6か７あたりでｆ（０）が整数であることの必要性は 納得できたと思っていたのですが・・・・ ｆ（ｎ＋１）－ｆ（ｎ）が常に整数であってもｆ（０））が整数でなければ （別にｆ（０）でなくてもｆ（１）でもそれ以外でもいいのだけれど） すべてのｆ（ｎ）が整数であることにならない。つまり同値である 事にはならない。 なぜ同値であることを示したいかというと、「f(n)はつねに整数である」と いうこと（これは問題文によって与えられている）の代わりに「f(0)が整数かつ f(n+1)-f(n)はつねに整数」を使いたいけど同値でなかったら問題文で 与えられた条件を勝手に変えてしまうことになるから。 これが「解説」の論理だと思いますが。
お礼
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''f(0)が整数であることが必要なのは dの値によって、例えば、d=3/2だったら f(n+1)-f(n)はdの値が消えますから、これが常に整数であったとしても、f(0)=3/2となり、整数にならない。 如何なる整数nに対してもf(n)が整数である、ということは、f(0)が整数という条件も必要となるから''ですか？
- gohtraw
- ベストアンサー率54% (1630/2966)
連投ご容赦を。 私は学校や塾などの教師、講師ではありませんので、あまり偉そうなことは いえませんが、このところの２、３件のご質問、および回答者とのやり取りを 見ていると、与えられた問題を解く以前の基本的な部分がしっかり身に ついていないという印象を受けます。例えばこの問題での論理の扱いとか、 ベクトルの合成における平行四辺形の件とか。いずれも（自明とまではいい ませんが）せいぜい数行くらいで済むようなことだと思います。老婆心ながら 基礎固めが必要と感じます。
お礼
御返答有難うございます
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そうだと思いますが、この問題集から基礎も学んでいきます 一応黄色チャートはやったんですが、忘れてる所が結構ありますね
- gohtraw
- ベストアンサー率54% (1630/2966)
「f(n)が常に整数である」ことよりも「f(0)が整数でf(n+1)-f(n)はつねに整数」の ほうが証明に使いやすいということなのでしょうが、それ以上はなんとも・・・ この命題の置き換えがそれほどすごいとも思わないけど。 いずれにせよ「解説」の内容が判らないとなんともいえないですね。 それと「ｆ（ｘ）の係数の6倍は整数」の意味もね。どの係数？
お礼
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>f(0)が整数でf(n+1)-f(n)はつねに整数」の >ほうが証明に使いやすいということなのでしょう そうだと思いますが、この命題は結構定石的なものですか？ >「解説」の内容が判らないとなんともいえないですね。 解説は全部書きましたが駄目ですか？ >ｆ（ｘ）の係数の6倍は整数」の意味 問題文も解説も全部書いたので解説から推測するしかないと思うのですが、多分f(x)のxの前の係数のことじゃないかと思います、つまりa,b,c,dの6倍ということかと思います
- gohtraw
- ベストアンサー率54% (1630/2966)
＞着想が分からないですね おっしゃる意味がよく判りません。元々の問題である、 f(x)=ax^3+bx^2+cx+dは有理数を係数とする多項式であって,任意の整数nに対し f(n)はつねに整数になるとする このとき,ｆ（ｘ）の係数の6倍は整数であることの証明 のために二つの命題の同値関係を持ちだす理由が判らないということですか？ もしそうだとしたら、「解説」をもう少し詳しく書いてくれないと・・・
お礼
御返答有難うございます
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>二つの命題の同値関係を持ちだす理由が判らないということで>すか？ はい、その通りです >「解説」をもう少し詳しく書いてくれないと・・・ じゃあ全部書きますね 一番最初に書いたものの後から全部書きますね、最初に書いたのが解説の出だしです f(n+1)-f(n)=a(3n^2+3n+1)+b(2n+1)+c =3an^2+(3a+2b)n+a+b+cをg(n)とおくとf(n+1)-f(n)は常に整数であることはg(0)は整数でg(n+1)-g(n)はつねに整数と同値である ここでg(n+1)-g(n)=3a(2n+1)+3a+2b =6an+6a+2bがつねに整数であるための条件は明らかに6a+2b,6aはともに整数であることで、以上によってf(n)はつねに整数⇔d,a+b+c,6a+2b,6aはすべて整数→6a,6b,6c,6dは整数であるから題意は証明された
- gohtraw
- ベストアンサー率54% (1630/2966)
あ、それからbgm38489さんは、ｄが整数でないとするとｆ（０）も整数では なくなるよ、それはこの問題においてはダメだよとおっしゃっているのです。 なぜなら、その後でｆ（０）が整数という条件も必要とおっしゃっているので。 なぜそうなるかは私のＮＯ６回答の（３）とか（４）の部分を読んで下さい。
お礼
御返答有難うございます
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分かりました、読んでみます
- gohtraw
- ベストアンサー率54% (1630/2966)
（１）命題Ａはｆ（ｎ）が常に整数ということなので、ｆ（０）も整数だということ （２）命題Ｂは直接（明確に）ｆ（０）が整数といっていること 上記二点はＯＫですか？ Ａ、Ｂ二つの命題が同値であることを示すために必要なのは （３）Ａが成り立つときＢが成り立つ （４）Ｂが成り立つときＡが成り立つ の両者を示すことである （３）と（４）はＯＫですか？ （３）で「Ａが成り立つとき」といった瞬間、Ａは成り立っています。それを出発点に Ｂが成り立つことを示せばいいのです。よってこの時点でｆ（０）は整数であり、 ｄも整数です。言い換えると、ｆ（０）、つまりｄが整数でないという仮定をしてしまうと、 それは「Ａが成り立つ」ということを否定してしまっている（あるいは「Ａが成り立たない」 といってしまっている）ので、そのあと何をやっても（３）を示すことにならないのです。 （４）についても同様です。
お礼
御返答有難うございます
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>上記二点はＯＫですか？ Okです >（３）と（４）はＯＫですか？ OKです >それは「Ａが成り立つ」ということを否定してしまっている>（あるいは「Ａが成り立たない」 >といってしまっている）ので、そのあと何をやっても（３）>を示すことにならないのです。 分かりました、A,Bが同値関係にあるのは分かりましたが、f(0)が整数、f(n+1)-f(n)が整数という命題を示そうと思った 着想が分からないですね、 数学的帰納法で示そうとして出てきたと考えていいのですか？その上でf(0)も整数にしておかないとdが変化して成り立たないかもしれないということからｆ(0)は整数が必要と考えたということですか
- bgm38489
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先程の回答、最後の一文を修正。 ＞＞如何なる整数nに対してもf(0)が整数である、ということは、f(0)が整数という条件も必要となるのです。 ではなく、 ＞＞如何なる整数nに対してもf(ｎ)が整数である、ということは、f(0)が整数という条件も必要となるのです。 です。
お礼
御返答有難うございます
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了解しました
- gohtraw
- ベストアンサー率54% (1630/2966)
同値というところからおさらい。 命題ＡとＢが同値であるということは、 Ａが成り立てばＢが成り立つ Ｂが成り立てばＡが成り立つ ということです。この問題の場合 命題Ａ：ｆ（ｎ）は常に整数 命題Ｂ：ｆ（０）は整数であり、かつｆ（ｎ＋１）ーｆ（ｎ）は常に整数 命題Ａが成り立つ場合、明らかにｆ（０）は整数であり、ｆ（ｎ＋１）ーｆ（ｎ）は 整数同士の引き算なので整数である。つまり、命題Ａが成り立てば 命題Ｂが成り立つ。 命題Ｂが成り立つ場合、 ｎ＝０であればｆ（ｎ＋１）－ｆ（ｎ）＝ｆ（１）－ｆ（０）であり、この値が整数なので ｆ（１）はｆ（０）に整数を加えたものになり、ｆ（０）も整数なのでｆ（１）は整数。 以下、順次ｆ（２）、ｆ（３）・・・についても整数となる。 また、ｎ＋１＝０であればｆ（ｎ＋１）－ｆ（ｎ）＝ｆ（０）－ｆ（－１）であり、上記と 同様にｆ（－１）はｆ（０）から整数を引いたものになり、、ｆ（０）も整数なので ｆ（－１）は整数。以下順次ｆ（－２）、ｆ（－３）・・・も整数となる。 以上より、命題Ｂが成り立てば命題Ａが成り立つ。 他の方も書かれている通り、別にｆ（０）から始めなくても構いません。命題Ｂの ｆ（０）をｆ（１）とかｆ（－１）とかに書き換えても上記と同様にして同値が導けます。 それから、命題Ａはｆ（ｎ）が常に整数といっており、命題Ｂはｆ（０）が整数と いっているのだから、ｆ（０）、つまりｄが整数でない場合を持ちだすのは おかしいです。 ところで、「ｆ（ｘ）の係数の6倍」って何なのでしょうか？
お礼
御返答有難うございます
補足
>命題Ａはｆ（ｎ）が常に整数といっており、命題Ｂはｆ（０）>が整数といっているのだから、ｆ（０）、つまりｄが整数でな>い場合を持ちだすのはおかしいです。 これはどういうことでしょうか？f(0)が整数というのはまずは仮定ですよね、bgm38489さんのd=3/2だったらという場合は存在しないという事ですか？
- bgm38489
- ベストアンサー率29% (633/2168)
dの値によって、変わってきますね。例えば、d=3/2だったらどうでしょうか？f(n+1)-f(n)はdの値が消えますから、これが常に整数であったとしても、f(0)=3/2となり、整数ではありませんね。如何なる整数nに対してもf(0)が整数である、ということは、f(0)が整数という条件も必要となるのです。
お礼
御返答有難うございます、でもf(n)もf(n+1)も整数でなくてもf(n+1)-f(n)は整数になることがありますよ、例えばf(n+1)=3/2でf(n)が1/2だったらf(n+1)-f(n)は1になりますよ？
補足
なるほど、それでf(0)が整数が必要なのですね、納得です
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