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整数問題
実数を係数とするxの多項式f(x)について、すべての整数kに対してf(k)が整数であるための必要十分条件は、 f(0)が整数 かつ すべての整数kについてf(k)-f(k-1)が整数である ことを証明せよ。 この問題でf(x)=ax{n}+bx{n-1}+・・・ とおいてやったのですが できませんでした 他に何か考え方はないでしょうか？ 解答の指針を教えてください
- realdreams
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f(k)が整数→f(0)が整数 かつ すべての整数kについてf(k)-f(k-1)が整数である 数学的帰納法 f(0)が整数 かつ すべての整数kについてf(k)-f(k-1)が整数である→f(k)が整数 背理法 あたりを使うのがいいかと
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>>解答の指針 なので、かなりざっくり書いちゃうと、 (1)n = 1 のとき f(x) = ax + b k = 1 とすると、f(0) = b , f(1) = a + b が整数 省略 (2)n = m のとき成立すると家庭 (m + 1)次多項式f(x) に対して、f(0) , … , f(m + 1) がすべて、整数とするとき、すべての整数 k に対して f(k) が整数となることを示す。 F(x) = f(x + 1) - f(x) と家庭使えば示せると思います。
お礼
なんとか解けました。 ありがとうございました
- arrysthmia
- ベストアンサー率38% (442/1154)
まず最初に、その定理が、 f(x) を多項式に限定しなくても成立する ことに気づきましょう。 実数から実数への関数 f(x) について、 全ての整数 k に対して f(k) が整数となる ための必要十分条件は… という訳です。 このように一般化しても、定理は成り立つのですが、 このように一般化すると、 式変形などの操作でできることが限られてしまう ので、返って、やるべきことがハッキリしてきます。 そういう目で、No.2 に沿って再考してください。
お礼
No2への補足ありがとうございました またよろしくお願いします
- banakona
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必要条件は明らかですよね。 十分条件は数学的帰納法でいいのでは？ 気になるのはｋがマイナスの場合ですが、同様に示せるでしょう。 例えば、ｆ（０）－ｆ（－１）が整数で、f(0)が整数なのでｆ（－１）も整数。以下同様でｋがマイナスの場合も言える。
お礼
ありがとうございました
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