確率変数の和の問題

質問

確率変数の和の問題です。

２つの確率変数XとYが、互いに独立に一様分布に従うとするとき、
確率変数X＋Yはどのような分布の形状になるのでしょうか？

結局、和も一様分布になるのでしょうか？分からなくなってしまいました。
教えて下さい。

回答No.4

MagicianKuma · ベストアンサー

連続型でピンとこないなら、離散型で考えてみれば？例えばサイコロを1個振るでしょ。1から6に一様(離散なので一様的)に出るね。2回振って和を取ると、平均3.5*2=7だけど2から12が一様的には出ないよね。
元問題を正確に解くと、確率変数X,Yの確率密度関数をf(x),g(y)として。確率変数Z=X+Yの確率密度関数をh(z)とすると。
h(z)=∫[-∞,∞]f(z-y)g(y)dy または h(z)=∫[-∞,∞]f(x)g(z-x)dx を計算すればよい。
問題よりf(x)=1 (0≦x≦1),g(y)=1 (0≦y≦1)　なので　0≦z≦1のときyは0≦y≦z,1＜z≦2のときz-1≦y≦1の範囲をとる。
0≦z≦1 のとき h(z)=∫[0,z]f(z-y)g(y)dy=∫[0,z]1・1dy=z
1＜z≦2 のとき h(z)=∫[z-1,1]f(z-y)g(y)dy=∫[z-1,1]1・1dy=1-(z-1)=2-z

お礼

返事が遅くなりました、すいません。
丁寧なご返答、ありがとうございました。

だいぶ理解が進みました。
またよろしくお願いします。

回答No.3

島崎 崇（@tadopika）

確率変数X+Yは、XY平面で考えると理解しやすいかと思います。

例えば、確率変数Xが0~1の範囲に一様に分布し、確率変数Yも、0~1の範囲に一様に分布しているとしましょう。
ここで、XとYが独立ならば、(X,Y)は、XY平面で、0<X<1, 0<Y<1 の範囲に一様に分布します。

X+Yの分布は、上記の領域と、直線 X+Y=K を考えます。
この直線が領域にかかる線分の長さが、確率に比例します。
Kは0~2の範囲をとり、K=1 のときに確率が最大となります。
これをグラフにしてみると、Kの確率密度関数は、(0,0), (1,1), (2,0) を結ぶ折れ線になります。
（確率密度関数なので、この三角形の面積は1です。）

因みに、0~1の間で乱数を2回発生させ、これらを加えた数が、丁度この分布になります。

お礼

御丁寧にありがとうございます、まだ充分理解できないのでもう少し考えてみます。

回答No.2

reiman

確率密度関数が2等辺3角形の形状になる

お礼

ありがとうございます。
形状は分かりましたが原理がイマイチ分かっておりません。
もう少し勉強してみます。

回答No.1

Willyt

互いに独立なら一様です。

お礼

ありがとうございます。
もう少し考えてみます。