滑車につけた物体の運動

質問

滑車につけた物体の運動。
なめらかに回る軽い滑車に糸を通し、糸の両端に質量Mの物体A、質量mの物体Bをつけて手で静止させる。静かにはなすと、A.Bは運動を始めた。 このときA.Bの加速度の大きさと、糸の張力の大きさはそれぞれいくらか。ただし、 動力加速度の大きさをgとして、 物体の質量はM > mの関係にあるとする。
また、糸の張力が最大のときの、物体の質量比を求めよ。

という問題です。全く分からないので教えてください。
回答よろしくお願いいたします。

回答No.6

中村 拓男（@tknakamuri）

>張力が最大のとき質量比

ABの総重量がー定という条件下では
張力を最大にする質量比は

A:B=1:1

ということです。

回答No.5

NemurinekoNya

お礼、ありがとうございます。

この問題は、ハッキリ言って悪問だからね～。
題意をどうとでも解釈できるんですよ。

たとえば、Mを一定と考えると、
　f(m) = mM/(m+M) = M(m+M-M)/(m+M) = M{1-M/(m+M)}
となって、mが大きくなえばなるほど、M/(m+M)は小さくなるので、f(m)は大きくなる。
つまり、f(m)はmの増加関数。
で、
m≦Mという条件をつけて、
　f(m)はm=Mの時に最大となる、
と考えることができます。

他にも、問題の箇所があるんだけれど。
これ以上、悩ませたくないので、言わない。

こんな悪い問題で、あれこれ悩むだけ損よ。

張力Tは
　T=2gMm/(M+m)
ですね。
m = Mの時
　T = mg = Mg
とならないといけないので。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

>T = Mg(-M+m)/(M+m) + Mg = gMm/(M+m)

間違い。

T=2gMm/(M+m)

申し訳ない。

で、M+m=c(総和が一定)という条件なら

T=2g(c-m)m/c

mで微分して

dT/dm=2g-4gm/c

だから極大は

m=c/2=M

T=mg=Mg=gc/2

補足

ということは張力が最大のとき質量比はという質問の答えはT=mg=Mg=gc/2でいいのでしょうか？

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

〉両者の張力(Mから↑向き、mから↑向き)を最大にしたとき

じゃなくて、Mが一定とかM十mが一定とかの条件が必要なんです。

質量比1:1でもM=m=1gと M=m=1000kgでは張力はまるで違いますよね。
何か条件を加えないと張力は質量比だけでは決まらないのです。

補足

回答ありがとうございます。
申し訳ありません。

M,mは一定だと思われます。

回答よろしくお願いいたします。

回答No.2

NemurinekoNya

T/g = mM/(m+M)
をじっと見詰める。
「おっ！！」と、
相乗平均≦相加平均という式を思いつく。
　√(mM) ≦ (m+M)/2　　　　（等号成立m=Mの時）
　mM ≦ (m+M)^2/4
　mM/(m+M)≦(m+M)/4
T/g = mM/(m+M) ≦ (m+M)/4

だから、張力Tは(m+M)g/4を越すことが出来ないんですよ。

張力の最大値はm=M、つまり、質量比m/M = 1の時で、
　T = mg/2
となる。

分数関数の微分はまだ習っていないだろうし…。
質問者さんが文系だと、習わないだろうし…。

補足

回答ありがとうございます。詳しく説明していただきありがとうございました。ですが私の理解力不足が原因で、答えがどれかわかりません。教えていただけないでしょうか？

まだ、積と商の微分はならってないですが、独学でやっています

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

ごく基本的な演習レベルなので　「全く分からない」というのはまずいですが

張力を T, A, B の加速度を Aの加速度をα(上向き)　とすると

Mα = T - Mg
m(-α) = T - mg

(M+m)α = -Mg + mg
α=g(-M+m)/(M+m)

T = Mg(-M+m)/(M+m) + Mg = gMm/(M+m)

>糸の張力が最大のとき

どのパラメータをどのように動かすかという条件がないと
算出不能。問題をよく見ましょう。質量比だけじ張力は決まりません。

条件が決まればシンプルな微分で極大値を求める問題でしょう。

補足

回答ありがとうございます。
両者の張力(Mから↑向き、mから↑向き)を最大にしたときだと思われます。