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数学III
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y=f(x) とする a<x<bのとき f(x)-f(a)=(x-a)f'(s) a<s<x となるsが存在する f(b)-f(x)=(b-x)f'(t) x<t<b となるtが存在する a<s<x<t<b s<t f"(x)≧0のとき f'(x)は単調増大だから f'(s)≦f'(t) {f(x)-f(a)}/(x-a)=f'(s)≦f'(t)={f(b)-f(x)}/(b-x) {f(x)-f(a)}/(x-a)≦{f(b)-f(x)}/(b-x) だから f(x)は凸 f"(x)≦0のとき f'(x)は単調減少だから f'(s)≧f'(t) {f(x)-f(a)}/(x-a)≧{f(b)-f(x)}/(b-x) だから f(x)は凹 f(x)が凸のとき a<x<bのとき {f(x)-f(a)}/(x-a)≦{f(b)-f(x)}/(b-x) だから {f(x)-f(a)}/(x-a)≦{f(b)-f(a)}/(b-a)≦{f(b)-f(x)}/(b-x) だから f'(a)=lim_{x→a}{f(x)-f(a)}/(x-a)≦{f(b)-f(a)}/(b-a)≦lim_{x→b}{f(b)-f(x)}/(b-x)=f'(b) f'(a)≦{f(b)-f(a)}/(b-a)≦f'(b) f'(a)≦f'(b) f'(x)は単調増大だから f"(x)≧0 f(x)が凹のとき a<x<bのとき {f(x)-f(a)}/(x-a)≧{f(b)-f(a)}/(b-a)≧{f(b)-f(x)}/(b-x) だから f'(a)≧{f(b)-f(a)}/(b-a)≧f'(b) f'(a)≧f'(b) f'(x)は単調減少だから f"(x)≦0
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